/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 13 kwietnia 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 1+-1log-3 + 1+-1log-2 2 3 jest równa
A) − 1 B) 0 C) 1 D) 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Wektor −→ A ′B ′ jest obrazem wektora −→ AB w jednokładności o środku S i skali 1 k = − 2 . Zatem
A) −→′ ′ 1−→ A B = 2BA B) −→′ ′ 1 −→ A B = − 2 BA C) −→′ ′ 1−→ A B = 3BA D) −→′ ′ 1−→ A B = − 3BA

Zadanie 3
(1 pkt)

Największa wartość funkcji 4 4 f(x) = 1 + sin x− cos x określonej dla x ∈ R to
A) 1 B) √ - -22 C) √ -- 2 D) 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają wszystkie liczby całkowite.
A) |2x − 1 5| > 1 B) |4x + 34| > 3 C) |4x + 38 | > 1 D) |2x − 13| > 3

Zadanie 5
(1 pkt)

W rozwinięciu wyrażenia (x + y + z )10 współczynnik przy iloczynie x3y2z5 jest równy
A) 10 10 10 ( 3)⋅( 2) ⋅(5) B) 10 10 ( 3) ⋅(2) C) (130)⋅(75) D) (103) ⋅(82)

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz granicę jednostronną lim ---x+-1-- x→ − 2− log0,4(3+x) .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz sumę kwadratów pierwiastków równania 3x4 − 12x 2 + 5 = 0 .

Zadanie 8
(2 pkt)

Wykaż, że

sin (β + α)sin(β − α ) = sin 2β − sin2 α.

Zadanie 9
(3 pkt)

Na bokach AB , BC i CA trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K,L i M w ten sposób, że |BK | = |BL | i |CL | = |CM | . Okrąg opisany na trójkącie KLM przecina bok AB tego trójkąta w punkcie N takim, że |AN | < |AK | (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że |AN | = |AM | .

Zadanie 10
(3 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , którego wyrazy są niezerowe i iloraz q spełnia warunek: q ∈ (− 1 ,1) . Suma S wszystkich wyrazów ciągu (a ) n , suma S 1 wszystkich wyrazów ciągu (a ) n o numerach nieparzystych oraz suma S2 wszystkich wyrazów ciągu (an) o numerach parzystych są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz q .

Zadanie 11
(3 pkt)

Na osi liczbowej każde dwie spośród 1000 kolejnych liczb naturalnych {1,2,3,...,999,1 000} połączono odcinkiem. Następnie wybrano losowo jeden z tych odcinków. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że do wylosowanego odcinka należy liczba 307 (może też być jednym z jego końców). Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 12
(4 pkt)

Obwód równoległoboku ABCD jest równy 26, miara jego kąta rozwartego ABC jest równa ∘ 120 , a promień okręgu wpisanego w trójkąt ABD jest równy √ -- 3 . Oblicz długości boków równoległoboku ABCD .

Zadanie 13
(4 pkt)

Prosta y = ax + b jest styczna do wykresu funkcji 5 2 y = x + 10x − 7 . Wykaż, że a ≥ − 15 .

Zadanie 14
(4 pkt)

W sześcian o krawędzi 4 wpisano kulę styczną do trzech ścian sześcianu oraz przechodzącą przez środek sześcianu. Oblicz promień tej kuli.

Zadanie 15
(5 pkt)

W trójkącie ABC o polu 20 dane sa współrzędne dwóch wierzchołków: A = (− 7,− 1) , B = (1,3) oraz środek S = (− 2,− 1) okręgu opisanego na tym trójkącie. Wyznacz współrzędne wierzchołka C .

Zadanie 16
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 + (m − 1)x − m 2 + 2 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x1 i x2 (x1 ⁄= x 2) , spełniające warunek 3 3 x1+x-2< 2 x1x2 .

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, i w których suma długości dłuższej podstawy i średnicy okręgu wpisanego jest równa 6. Wyznacz wymiary tego spośród tych trapezów, który ma najmniejszy obwód. Oblicz ten obwód.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania