/Szkoła średnia
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 16 marca 2024 Czas pracy: 180 minut
Jacek ustawia książek na półce. Wśród tych książek są dokładnie 3 książki historyczne. Liczba wszystkich możliwych ustawień tych książek jest 117 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień, w których książki historyczne stoją obok siebie (w dowolnej kolejności). Oblicz .
Informacja do zadań 2.1 i 2.2
Dany jest wielomian określony dla dowolnej liczby rzeczywistej .
Wykaż, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Wykaż, że
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Prosta jest styczna do wykresu funkcji w punkcie . Wyznacz współrzędne punktu .
Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boków i w punktach i odpowiednio. Na bokach i tego trójkąta wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli , i , to trójkąt jest rozwartokątny.
Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trójkąta jest równy 33, a cosinus największego kąta jest równy . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dany jest sześcian o krawędzi długości 3. Punkt jest punktem przecięcia przekątnych i ściany bocznej (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość trójkąta poprowadzoną z punktu na bok tego trójkąta.
Ośmiokrotnie rzucamy sześcienną kostką do gry. Wśród otrzymanych wyników jest dokładnie 5 piątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ostatnim rzucie otrzymaliśmy piątkę?
Ciąg jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg
jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek . Oblicz oraz .
W układzie współrzędnych dane są punkty , i . Wyznacz wszystkie punkty prostej , które są różne od punktów i , i dla których suma pól trójkątów i jest mniejsza od 120.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunek:
Boki i prostokąta mają długości i odpowiednio, gdzie jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą. Na bokach i wybrano odpowiednio punkty i w ten sposób, że . Oblicz dla jakiej długości odcinka pole trójkąta jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.