/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 19 marca 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |m − 5x | ≥ 3 .

PIC

Stąd wynika, że
A) m = 5 B) m = 8 C) m = 2 D) m = 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Dany jest wielomian W (x) = x3 + ax2 + bx − 1 , gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Zatem
A) Jeżeli równanie W (x) = 0 ma pierwiastek wymierny, to a + b = 0 .
B) Jeżeli równanie W (x) = 0 ma ujemny pierwiastek całkowity, to a = b+ 2 .
C) Równanie W (x) = 0 może nie mieć rozwiązań.
D) Równanie W (x) = 0 musi mieć co najmniej 2 różne pierwiastki.

Zadanie 3
(1 pkt)

Pochodna funkcji x+-1 f (x) = x2 jest równa
A) −x-−32 x B) x+32 x C) 3x+3-2 x D) 1- − x3

Zadanie 4
(1 pkt)

Wartość wyrażenia cos 23π + sin (− 53π) 7 14 jest równa
A) 0 B) 2π- 2co s 7 C) 2 sin 2π7- D) − 2co s 2π7

Zadanie 5
(1 pkt)

Wskaż równanie okręgu stycznego do prostej 3x− 4y + 5 = 0 .
A) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9
B) (x− 2)2 + (y+ 1)2 = 9
C) 2 2 (x − 1) + (y + 2) = 3
D) 2 2 (x − 2) + (y + 1) = 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz granicę jednostronną funkcji -x3+-64--- lim − x2+8x+16 x→ −4 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Punkt F jest środkiem boku AD prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt E jest takim punktem boku AB tego prostokąta, że prosta CF jest dwusieczną kąta DCE . Wykaż, że trójkąt CF E jest prostokątny.

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

4 2 x − x + 2x + 3 > 0.

Zadanie 9
(3 pkt)

W okręgu o promieniu 6 średnice AB i CD przecinają się pod kątem 45∘ . Na okręgu tym wybrano punkt E oraz skonstruowano jego rzuty P i Q odpowiednio na średnice AB i CD . Oblicz długość odcinka PQ .

PIC

Zadanie 10
(3 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem 2 f(x ) = 3x + 2x − 5 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które przechodzą przez punkt (− 1,− 7) .

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność − 2 cos3x ≥ 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 12
(4 pkt)

W trójkąt równoramienny ABC o podstawie długości |AB | = 14 i polu 168 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek A z punktem wspólnym okręgu i ramienia BC .

Zadanie 13
(5 pkt)

Odcinek AB o długości 20 jest zawarty w prostej o równaniu 3y + 4x − 5 = 0 . Symetralna odcinka AB przecina oś Ox w punkcie ( ) 40- P = − 3 ,0 . Oblicz współrzędne końców odcinka AB .

Zadanie 14
(6 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „czwórkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „piątkę”.

Zadanie 15
(6 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = m-2−m−-2x2 − 2(m − 2)x + m 2 − m − 6 m 2−m− 6 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których rozwiązaniem nierówności f (x) < 0 jest przedział postaci (a,b) , gdzie a < 0 < b .

Zadanie 16
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie walce, których przekrojem osiowym jest prostokąt, w którym suma długości przekątnej i jednego boku jest równa 10. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego walca.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania