/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 21 marca 2020 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba √ ---4√ ---- log 0,4 2,5 jest równa
A) 2 B) − 4 C) √ -- 2 D) − 1 2

Zadanie 2

(1 pkt)

Jeżeli 59% liczby jest równe 177 i b − a = 64 , to 75% liczby jest równe
A) 236 B) 300 C) 225 D) 177

Zadanie 3

(1 pkt)

Jedną z liczb spełniających nierówność (x + 3) ⋅(x− 2)⋅ (x+ 1)2 ⋅(x − 8) > 0 jest
A) 3 B) − 4 C) − 2 D) 7

Zadanie 4

(1 pkt)

Liczba ∘4-----------−52 2,0 736⋅ 10 jest równa
A) 1,2 ⋅10− 13 B) 1,44⋅ 10−48 C) 1,2 ⋅10− 56 D) 1,44 ⋅10− 26

Zadanie 5

(1 pkt)

Para liczb x = − 1 i y = − 2 jest rozwiązaniem układu równań { ax − y = 4 − 2x + 3y = 2a dla
A) a = − 1 B) a = 1 C) a = − 2 D) a = 2

Zadanie 6

(1 pkt)

Równanie 2 √-2--- (x-−1√6)-x-−25 = 0 x−4 ma dokładnie
A) cztery rozwiązania B) trzy rozwiązania
C) dwa rozwiązania D) jedno rozwiązanie

Zadanie 7

(1 pkt)

Jeśli wykres funkcji kwadratowej f(x ) = −x 2 + 3x + 2a jest styczny do prostej y = − 2 , to
A) 17- a = − 8 B) 9 a = − 8 C) a = 94 D) a = 187

Zadanie 8

(1 pkt)

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej dla x ∈ ⟨− 4,5⟩ .

Równanie |f(x)| = 2 ma
A) dokładnie dwa rozwiązania. B) dokładnie cztery rozwiązania.
C) dokładnie pięć rozwiązań. D) nieskończenie wiele rozwiązań.

Zadanie 9

(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) o wszystkich wyrazach niezerowych i pierwszym wyrazie a1 = 6 . Jeżeli 4a3 + 3a4 = 0 , to wzorem ogólnym ciągu (an ) jest
A) ( ) a = − 9⋅ − 4 n n 2 3 B) ( ) a = 6 ⋅ 4 n−1 n 3 C) ( ) a = 6 ⋅ − 4 n n 3 D) ( ) a = 9⋅ 4 n n 2 3

Zadanie 10

(1 pkt)

Punkt A = (a ,− 2 ) leży na prostej określonej równaniem y = − 5 x+ 3 3 . Stąd wynika, że
A) 3 a = − 5 B) a = 3 C) a = 25- 3 D) a = −3

Zadanie 11

(1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) dane są a1 = −5 , a22 = 4 i a92 = 34 . Wtedy suma

a22 + a23 + a24 + ⋅⋅⋅ + a91

jest równa
A) 1293 B) 1315 C) 1311 D) 1345

Zadanie 12

(1 pkt)

Kąt α ∈ (0∘,180 ∘) spełnia warunek: sin α ⋅cosα = − 5- 12 . Wartość wyrażenia (co sα + sinα )2 + 2 jest równa
A) 13 6 B) 31- 12 C) 41 12 D) 236

Zadanie 13

(1 pkt)

Wyrażenie (x − y)(x + y)2(x− y)3 jest równe
A) (x2 − y2)2(x + y)2 B) (x 2 − y 2)2(x − y)2
C) 2 2 2 2 (x + y ) (x + y) D) 2 2 2 2 (x + y ) (x− y)

Zadanie 14

(1 pkt)

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba 19- − 2 .
A) |4x + 17| < 20 B) |4x − 1 5| > 55 C) |4x + 13| > 24 D) |4x − 29| < 65

Zadanie 15

(1 pkt)

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie i promieniu 4 oraz okrąg o środku w punkcie i promieniu 6. Odcinek ma długość 25. Prosta jest styczna do tych okręgów w punktach i . Ponadto prosta przecina odcinek w punkcie (zobacz rysunek).

Wtedy
A) |OK | = 6 B) |OK | = 8 C) |OK | = 10 D) |OK | = 12

Zadanie 16

(1 pkt)

Ze zbioru liczb całkowitych, które są zawarte w przedziale ⟨1 ,5 0⟩ losujemy dwa razy po jednej liczbie (wylosowany liczby mogą się powtarzać). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że jedna z wylosowanych liczb jest kwadratem drugiej liczby jest równe:
A) 0,0048 B) 0,0028 C) 0,0024 D) 0,0052

Zadanie 17

(1 pkt)

Liczba dzielników naturalnych liczby 913 jest równa
A) 8 B) 256 C) 16 D) 4

Zadanie 18

(1 pkt)

Odcinek jest średnicą okręgu o środku (rysunek).

Miara kąta jest równa
A) 31∘ B) 2 6∘ C) 33∘ D) 52∘

Zadanie 19

(1 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 1. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź , a długość krawędzi jest równa 2 (zobacz rysunek).

Różnica miar kątów SBA i SBD jest równa
A) 15∘ B) 2 0∘ C) 45∘ D) 30∘

Zadanie 20

(1 pkt)

Punkt P = (6,− 4) , przekształcono w symetrii względem prostej y = x . W wyniku tego przekształcenia otrzymano punkt . Zatem
A) Q = (− 4,6) B) Q = (− 6,4 ) C) Q = (4,− 6) D) Q = (6,− 4)

Zadanie 21

(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej . Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (3,− 1) i ( ) B = 0, 54 .

Obrazem prostej przy obrocie o kąt 9 0∘ wokół punktu jest wykres funkcji określonej wzorem
A) g(x ) = 3x − 13 4 4 B) g (x) = x − 4 C) 4 g(x ) = 3x − 5 D) g(x) = −x + 2

Zadanie 22

(1 pkt)

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 108 cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A) 486 cm 2 B) 81 cm 2 C) 324 cm 2 D) 729 cm 2

Zadanie 23

(1 pkt)

Okrąg o środku S = (− 3,11) 1 oraz okrąg o środku S 2 i promieniu 6 są styczne wewnętrznie w punkcie (− 11 ,11) . Wtedy
A) S 2 = (− 1,11) B) S2 = (−5 ,11) C) S2 = (1,1 1) D) S2 = (5,11)

Zadanie 24

(1 pkt)

Punkty A = (a,7) , B = (− 2,9) i C = (4,− 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego o podstawie . Zatem
A) a = 3 B) a = 7 C) a = −3 D) a = 9

Zadanie 25

(1 pkt)

Mediana zestawu ośmiu danych liczb: 8,22 ,a,15,8,6,15,18 jest równa 14. Zatem
A) a = 7 B) a = 12 C) a = 14 D) a = 13

Zadania otwarte

Zadanie 26

(2 pkt)

Rozwiąż równanie (x− 1)(x+1)(x+2) (x+2)(x−2)(x− 1) ------x−2------= ------x+1------ .

Zadanie 27

(2 pkt)

Rozwiąż nierówność √ --- 2 2 1 4x− 2x − 7 ≥ 0 .

Zadanie 28

(2 pkt)

Punkty i są środkami boków i trójkąta ABC (zobacz rysunek). Wykaż, że odległość punktu od prostej jest dwa razy większa od odległości punktu od prostej .

Zadanie 29

(2 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli liczby rzeczywiste a ,b spełniają warunek ab ≤ − 3 , to 2 2 a + b ≥ 6 .

Zadanie 30

(2 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym nieparzystą cyfrę jedności, oraz parzystą cyfrę dziesiątek.

Zadanie 31

(2 pkt)

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa ma długość 15. Przekątna tego trapezu ma długość 6 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze ∘ 30 (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej tego trapezu.

Zadanie 32

(4 pkt)

W ciągu arytmetycznym {a 1,a2,...,a29,a30} suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 555, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 615. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Zadanie 33

(5 pkt)

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa √ -- 5 3 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt taki, że 1 tg α = 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 34

(4 pkt)

Prosta tworzy z dodatnią półosią kąt o mierze ∘ 135 i przechodzi przez punkt M = (3,− 7) . Prosta jest prostopadła do prostej i przecina oś w punkcie o odciętej − 6 . Oblicz obwód trójkąta utworzonego przez proste , i oś .