/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 18 marca 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Styczna do wykresu funkcji y = x3 + 3x 2 + 2x w punkcie (− 1,0) ma równanie
A) y = −x B) y = −x + 1 C) y = −x − 1 D) y = x − 1

Zadanie 2
(1 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są: |CD | = 6, |BC | = 8, |BD | = 12 oraz |∡ADB | = |∡DCB | (zobacz rysunek).

PIC

Wówczas długość ramienia AD tego trapezu jest równa
A) |AD | = 1 6 B) |AD | = 18 C) |AD | = 14 D) |AD | = 2 0

Zadanie 3
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y = f (x) , której dziedziną jest zbiór D = (−∞ ,3 )∪ (3,+ ∞ ) .

PIC

Równanie 3|2− f(x)| + p = 0 z niewiadomą x ma dokładnie dwa rozwiązania tylko wtedy, gdy
A) p = 0 B) p = 0 lub p = 2 C) p < 0 D) p > 0

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba tg 47π 3 jest równa
A) √ 3 − -3- B) √ 3 -3- C) √ -- − 3 D) √ -- 3

Zadanie 5
(1 pkt)

Granica lim 1+2n+-3n32+-4n5- n→+ ∞ − 7n+ 3n jest równa
A) − ∞ B) − 47 C) 0 D) + ∞

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wśród 200 uczniów pewnego krakowskiego gimnazjum przeprowadzono ankietę dotyczącą planów wakacyjnych. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.

Klasa  Liczba uczniów Liczba uczniów,
którzy nie wyjadą
na wakacje 		Liczba uczniów,
którzy wyjadą
z rodzicami 		Liczba uczniów,
którzy wyjadą
na kolonie
Pierwsza 50 8 36 12
Druga 80 16 48 24
Trzecia 70 12 40 24

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, wyjedzie na wakacje, jeśli wiadomo, że ta osoba nie jest uczniem drugiej klasy.

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów ciągu (a ) n , który określony jest w następujący sposób

{ a1 = 5 an = 3 − an− 1 dla n ≥ 2.

Zadanie 8
(3 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb ujemnych a,b spełniona jest nierówność

∘ -------- 3 a3 + b3 a+ b ------- ≤ -----. 2 2

Zadanie 9
(3 pkt)

Dany jest równoległobok ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie L , a okrąg wpisany w trójkąt ABD ma środek S i jest styczny do boku AD w punkcie K .

PIC

Wykaż, że jeżeli odcinek SL jest równoległy do prostej AB , to |KD | = |SL| .

Zadanie 10
(4 pkt)

Liczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

8k2x 2 + (3k + 5 )x+ 2 = 0, gdzie k ⁄= 0.

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem f(k) = 3−m .

Zadanie 11
(4 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry parzyste.

Zadanie 12
(4 pkt)

Na jednym z ramion kąta ostrego o wierzchołku O i mierze α wybrano punkty A ,A ,A ,... 1 2 3 , a na drugim ramieniu punkty B ,B ,B ,... 1 2 3 w ten sposób, że |OA 1| = a , AiBi ⊥ OB 1 oraz BiAi +1 ⊥ OA 1 dla wszystkich i ≥ 1 .

PIC

Wykaż, że długość nieskończonej łamanej A 1B1A 2B 2A3B 3... jest równa tgaα 2 .

Zadanie 13
(5 pkt)

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x ) = 9x4 + 22x 3 − 12x 2 − 24x + 17 .

Zadanie 14
(5 pkt)

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa a , a wysokość tego ostrosłupa ma długość √ -- a 2 . Punkty E i F są środkami krawędzi bocznych odpowiednio AS i CS . Oblicz obwód trójkąta BEF .

Zadanie 15
(6 pkt)

Punkt A = (2 3,22) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego o polu 700 3-- . Prosta AC zawiera przeciwprostokątną tego trójkąta, a prosta zwierająca przyprostokątną AB ma równanie 3y − 4x+ 26 = 0 . Środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC ma współrzędne S = (− 2,− 3) . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Zadanie 16
(7 pkt)

Częścią wspólną płaszczyzny m i kuli k o środku S i promieniu R jest koło o . Jaka musi być odległość płaszczyzny m od środka kuli S , aby stożek o podstawie o i wierzchołku S miał największą możliwą objętość? Oblicz tę maksymalną objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania