/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 26 lutego 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wyrażenie cos2x − co s4x jest równe
A) 2 sin 3x sin x B) cos 2x C) 2c os3x cos x D) − cos 2x

Zadanie 2
(1 pkt)

Jeżeli lim --(an+-7)4--= 81 n→ +∞ n4+ 4n2− 3n , to liczba a może być równa
A) 1 9 B) − 1 3 C) − 1 9 D) 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Wielomian W (x) = 2x3 − 3x2 + 6x − 9 jest podzielny przez wielomian
A) 2 2x − 3 B) 2 x + 3 C) √ -- x − 3 3 D) √ -- x + 3 3

Zadanie 4
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji f . Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f .

PIC

A) ( ) f(x ) = tg xπ- B) ( ) f (x) = tg π2-⋅x
C) f(x) = 2-tg (x ) π 2 D) f (x) = 2π ⋅tg (x) 2

Zadania otwarte

Zadanie 5
(3 pkt)

Wyznacz punkty wspólne wykresów y = f(x) i ′ y = f (x) jeżeli x+ 3 f (x) = x−-3 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Udowodnij, że

1 log2022!2023 = ---------------------------------------------. log-12023 + log12023 + log12023 + ...+ log--12023 2 3 4 2022

Zadanie 7
(3 pkt)

Rozwiąż nierówność

3x+ 1 3 + 2x -------≤ -------. 3 − x 3 + x

Zadanie 8
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 sin2x − sin x = sin2x − cosx w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 9
(3 pkt)

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a ) n wynosi 18, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 16. Oblicz iloraz tego ciągu.

Zadanie 10
(3 pkt)

W loterii szkolnej losujemy jeden spośród 100 losów, przy czym w przypadku wyciągnięcia losu przegrywającego możemy wylosować jeszcze jeden los. Ile losów w tej loterii jest przegrywających, jeżeli prawdopodobieństwo wygranej jest równe 1775 ?

Zadanie 11
(4 pkt)

Dla jakich wartości parametru m równanie x2 − (m + 2)x + m + 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków x 1 i x 2 spełniające warunek |x |+ |x | ≤ 4 1 2 ?

Zadanie 12
(5 pkt)

Z wierzchołków A i C kątów ostrych równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono środkowe AE i CD przecinające się w punkcie S . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ACS jeżeli |AB | = |BC | = 6 .

Zadanie 13
(5 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem 2 f(x ) = kx + (2− 2k)x − 1 dla każdej liczby rzeczywistej x i k ∈ (− 1,0) . Wyznacz równania dwóch prostopadłych stycznych do wykresu funkcji f poprowadzonych w punktach, których pierwsze współrzędne różnią się o 2, jeżeli wiadomo, że funkcja f ma maksimum lokalne równe 7 2 .

Zadanie 14
(6 pkt)

Punkty A = (− 3,− 1) i B = (3,5) są wierzchołkami trójkąta ABC , a jego wysokości przecinają się w punkcie D = (1,1) . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok AB .

Zadanie 15
(7 pkt)

Zakład produkcyjny dostał zlecenie produkcji prostopadłościennych pudełek (całkowicie otwartych od góry) o objętości 60,75 litra. Dno pudełka ma być kwadratem i żaden z jego wymiarów nie może przekraczać 67,5 cm. Na koszt wykonania pudełka składają się – koszt wykonania 1 cm 2 dna w wysokości 48 gorszy oraz koszt wykonania 1 cm 2 ściany bocznej w wysokości 36 groszy. Oblicz wymiary pudełka, dla których koszt jego produkcji będzie najmniejszy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania