/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 22 kwietnia 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Suma szeregu geometrycznego √ -- √ -- − 9 + 3 3 − 3 + 3 + ... jest równa
A) 9√-3+27 2 B) 27−-9√3- 2 C) √ - 9--3−27 2 D) √ - −27−9--3 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Granica − 3n−34+5n34 nl→im+ ∞ ----−3----1---−-3 1+3n 5− 2n2+3n 4 jest równa
A) ∞ B) 5 − 2 C) 0 D) − ∞

Zadanie 3
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y = f (x) , której dziedziną jest zbiór D = (−∞ ,− 2) ∪ (− 2,+ ∞ ) .

PIC

Równanie |f(x)| = p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie
A) w dwóch przypadkach: p = 0 lub p = 3 .
B) w dwóch przypadkach: p = 0 lub p = 2 .
C) tylko wtedy, gdy p = 3 .
D) tylko wtedy, gdy p = 2 .

Zadanie 4
(1 pkt)

Równanie 4 + 3 cosx = sin x w przedziale (0,2π )
A) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
B) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
C) ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
D) nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 5
(1 pkt)

W równoległoboku ABCD na przekątnej BD wybrano punkty E i F tak, że |DF | = |BE | (zobacz rysunek). Dane są ponadto: |AD | = 7 , ∘ |∡DAE | = |∡ABD | = |∡DCF | = 36 .

PIC

Wówczas długość odcinka DF jest równa
A) |DF | = 8 B) √ -- |DF | = 2 5 C) |DF | = 7 D) |DF | = 4 √ 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wśród 1200 uczniów pewnego liceum przeprowadzono sondaż dotyczący funkcjonowania sklepiku szkolnego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.

Badane grupy  Liczba uczniów zadowolonych
z asortymentu sklepiku 		Liczba uczniów niezadowolonych
z asortymentu sklepiku
Chłopcy 320 260
Dziewczęta 280 340

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, jest zadowolona z asortymentu sklepiku, jeśli wiadomo, że jest dziewczynką.

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę jednostronną funkcji lim -x3+-64--- x→ −4+ x2+8x+16 .

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

x(x − 3 )+ y (y− 3) ≥ xy − 9.

Zadanie 9
(3 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH . Przez wierzchołki A,C oraz F poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną BH w punkcie P (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |BP | : |HP | = 1 : 2 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Wielomian 3 2 W (x) = x + bx + cx − 6 jest podzielny przez trójmian kwadratowy x 2 + x − 2 . Wyznacz współczynniki b i c wielomianu W (x) .

Zadanie 11
(3 pkt)

Na bokach AD i DC kwadratu ABCD o polu 1 wybrano punkty K i L w ten sposób, że |∡KBL | = 45∘ .

PIC

Oblicz odległość punktu B od prostej KL .

Zadanie 12
(4 pkt)

Oblicz log 5 log 31,5 log 0,6 2 3 ⋅5 3 ⋅7 3 .

Zadanie 13
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 |x + 3x + 2| ≤ |x + 2| .

Zadanie 14
(4 pkt)

Ciąg (an) określony dla n ≥ 1 jest rosnący, ma wszystkie wyrazy ujemne oraz spełnia warunki

{ an+an+2 an+ 1 = 4 dla n ≥ 1 a2n+ 1 = anan+ 2 dla n ≥ 1.

Oblicz iloraz a2017- a2013 .

Zadanie 15
(5 pkt)

Punkty A = (2,4),B = (5,3) i C = (6,− 4) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Wierzchołek D tego czworokąta leży na prostej o równaniu y = 2x + 5 . Wyznacz współrzędne punktu D .

Zadanie 16
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie 2−m x 2 + 3x + m−-3 = 0 ma dwa różne pierwiastki x 1 i x2 takie, że x 31 + x 32 > − 9 .

Zadanie 17
(7 pkt)

Z kartonu w kształcie trójkąta równobocznego o boku długości 120 cm odcięto trzy identyczne czworokąty w narożnikach (zobacz rysunek).

PIC

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób pudełko w kształcie graniastosłupa trójkątnego prostego (bez przykrywki). Oblicz długość krawędzi podstawy tego pudełka, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania