/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 29 lutego 2020 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Parametr m dobrano tak, że rozwiązaniem nierówności

(4− m2) ⋅x2 + (m + 1)⋅x + (m + 3) ≤ 0

z niewiadomą x jest przedział postaci ⟨a ,+ ∞ ) . Wynika stąd, że
A) a = − 2 B) a = − 1 C) a = 1 D) a = 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba tg 15∘ + --1-∘ tg15 jest równa
A) 4 B) 16√-3 3 C) 1 D) √ - 3--3 4

Zadanie 3
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji y = f(x ) , który jest złożony z dwóch półprostych AC i BD oraz odcinka AB , gdzie A = (− 1,2) , B = (1,2 ) , C = (− 3,6) , D = (3 ,6) .

PIC

Wzór funkcji f to
A) |x + 1|+ |x − 1 | B) ||x − 1 |− 1| C) ||x− 1|+ 1 | D) |x + 1|+ 1

Zadanie 4
(1 pkt)

Dziedziną funkcji określonej wzorem --x−a---- f(x ) = ax2+ax+1 jest zbiór liczb rzeczywistych. To oznacza, że liczba a nie może być równa
A) √ -- 3 B) 0 C) √ -- 2 5 D) --- √ 15

Zadanie 5
(1 pkt)

Na bokach AC i AB trójkąta ABC o wierzchołkach A = (− 1,− 1) , B = (11,4) i C = (5,8) , wybrano punkty K i L odpowiednio, w ten sposób, że KL ∥ CB . Pole trapezu BCKL stanowi 5 9 pola trójkąta ABC . Zatem
A) K = (1,2) B) K = (7,2) C) K = (3,5) D) K = (4,6 )

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

W urnie znajduje się 18 kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest 6 kul białych i 12 kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych.

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę lim √n3+(1−n)3-- n→+ ∞ 3 343n6+64n4 .

Zadanie 8
(2 pkt)

W czworokącie wypukłym ABCD , długości boków AB ,BC ,AD ,DC są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 9
(3 pkt)

Oblicz odległość między stycznymi do wykresu funkcji f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 2 4x+ 15 , które są równoległe do prostej y = 12x + 2 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli liczba całkowita n nie jest podzielna przez 3, to wyrażenie n 4 − 1 7n2 + 7 jest podzielne przez 9.

Zadanie 11
(3 pkt)

Niech pn , dla liczby całkowitej n ≥ 0 , oznacza sumę odwrotności pierwiastków równania

-- √ 3x2 − 92nx − 63n = 0

z niewiadomą x . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (p ) n .

Zadanie 12
(4 pkt)

Liczba przekątnych n –kąta foremnego jest o 73 mniejsza niż liczba przekątnych (n+ 2) –kąta. Oblicz n .

Zadanie 13
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 x sin x = co s x + cos 2 w przedziale ⟨− 2π ,2π ⟩ .

Zadanie 14
(4 pkt)

Przedstawiona na rysunku bryła to ostrosłup prawidłowy czworokątny ścięty płaszczyzną równoległą do jego płaszczyzny podstawy. Wysokość tej bryły jest równa H , a a i b (a > b ) są długościami krawędzi jego podstaw. Oblicz objętość tej bryły.

PIC

Zadanie 15
(5 pkt)

Dane są okręgi o równaniach 2 2 x + y + 2x + 10y + 22 = 0 i 2 2 2 x + y − 6x + 2ay + a − 27 = 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 16
(6 pkt)

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 5 i 8 jest równy równy √ -- 3 , a obwód tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Zadanie 17
(7 pkt)

Rozważamy wszystkie walce o objętości V . Wyznacz wysokość i promień podstawy tego z rozważanych walców, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania