/Szkoła średnia

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 22 sierpnia 2017 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Niech a = − 2 i b = 3 . Wartość wyrażenia b a a − b jest równa
A) 73 -9 B) 71 9- C) 73 − 9- D) − 71 9

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba 99 ⋅ 812 jest równa
A) 814 B) 8 1 C) 913 D) 36 9

Zadanie 3
(1 pkt)

Wartość wyrażenia lo g48 + 5 lo g42 jest równa
A) 2 B) 4 C) 2 + log 45 D) 1 + log41 0

Zadanie 4
(1 pkt)

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła
A) o mniej niż 50%, ale więcej niż 40%. B) o mniej niż 60% , ale więcej niż 50%.
C) dokładnie o 60%. D) o więcej niż 60%.

Zadanie 5
(1 pkt)

Liczba √ -- 2 √ -- 2 (2 7 − 5) ⋅(2 7 + 5) jest równa
A) 9 B) 3 C) 2809 D) √ -- 28 − 20 7

Zadanie 6
(1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek: 11 ≤ 2x − 7 ≤ 15 .

PIC

Zadanie 7
(1 pkt)

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
A) { 2 (a+ b ) = 60 a + 10 = b B) { 2a + b = 60 10b = a C) { 2ab = 60 a − b = 10 D) { 2(a+ b) = 60 10a = b

Zadanie 8
(1 pkt)

Rozwiązaniem równania xx++12-= 3 , gdzie x ⁄= − 2 jest liczba należąca do przedziału
A) (− 2,1) B) ⟨1,+ ∞ ) C) (− ∞ ,− 5) D) ⟨− 5,− 2)

Zadanie 9
(1 pkt)

Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3 : 4 : 5. Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość
A) 41 23 metra B) 3 313 metra C) 60 metr ów D) 25 metr ów

Zadanie 10
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f (x) = x2 + bx + c .

PIC

Współczynniki b i c spełniają warunki:
A) b < 0 , c > 0 B) b < 0, c < 0 C) b > 0 , c > 0 D) b > 0 , c < 0

Zadanie 11
(1 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) , określony dla n ≥ 1 , o którym wiemy, że: a1 = 2 i a2 = 9 . Wtedy an = 79 dla
A) n = 10 B) n = 11 C) n = 12 D) n = 13

Zadanie 12
(1 pkt)

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81,3x,4) . Stąd wynika, że
A) x = 18 B) x = 6 C) 85 x = 6- D) 6 x = 85

Zadanie 13
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i spełniona jest równość √ - sin α = 2--6 7 . Stąd wynika, że
A) 24 cosα = 49 B) 5 co sα = 7 C) co sα = 2549- D) √- co sα = 576-

Zadanie 14
(1 pkt)

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A ,B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121∘ , a kąt BOC ma miarę 4 0∘ .

PIC

Kąt AOB ma miarę
A) 59∘ B) 5 0∘ C) 81∘ D) 78∘

Zadanie 15
(1 pkt)

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC , a punkt E leży na boku AC . Odcinek DE jest równoległy do boku AB , a ponadto |AE | = |DE | = 4 , |AB | = 6 (zobacz rysunek).

PIC

Odcinek CE ma długość
A) 163 B) 83 C) 8 D) 6

Zadanie 16
(1 pkt)

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe 6√ 3- . Bok tego trójkąta ma długość
A) √ -- 3 2 B) √ -- 2 3 C) √ -- 2 6 D) √ -- 6 2

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkty B = (− 2,4) i C = (5,1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD . Pole tego kwadratu jest równe
A) 29 B) 40 C) 58 D) 74

Zadanie 18
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD .

PIC

Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to
A) ∡SAO B) ∡SAB C) ∡SOA D) ∡ASB

Zadanie 19
(1 pkt)

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa
A) 14 B) 21 C) 28 D) 26

Zadanie 20
(1 pkt)

Prosta k przechodzi przez punkt A = (4,− 4) i jest prostopadła do osi Ox . Prosta k ma równanie
A) x − 4 = 0 B) x − y = 0 C) y + 4 = 0 D) x + y = 0

Zadanie 21
(1 pkt)

Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem ∘ 30 i przecina oś Oy w punkcie √ -- (0 ,− 3 ) (zobacz rysunek).

PIC

Prosta l ma równanie
A) √- √ -- y = -33 x − 3 B) √ - √ -- y = -33x + 3 C) 1 √ -- y = 2 x− 3 D) 1 √ -- y = 2x + 3

Zadanie 22
(1 pkt)

Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej √ -- 3 5 . Objętość tego stożka jest równa
A) 36π B) 18π C) 10 8π D) 54π

Zadanie 23
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: x , 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa
A) 8 B) 9 C) 10 D) 16

Zadanie 24
(1 pkt)

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017?
A) 2016 B) 2017 C) 1016 D) 1017

Zadanie 25
(1 pkt)

Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1 3 . Liczba kul czarnych jest równa
A) n = 9 B) n = 2 C) n = 18 D) n = 12

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x 2 + x − 6 ≤ 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 2 (x − 6)(3x + 2) = 0 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

1 4x + --≥ 4. x

Zadanie 29
(2 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym |∡ACB | = 90 i ∘ |∡ABC | = 60 . Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD | : |DB | = 3 : 1 .

Zadanie 30
(2 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,4,5,10} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Zadanie 31
(2 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) , określony dla n ≥ 1 , w którym spełniona jest równość a21 + a24 + a27 + a30 = 1 00 . Oblicz sumę a25 + a26 .

Zadanie 32
(4 pkt)

Funkcja kwadratowa 2 f (x) = ax + bx + c ma dwa miejsca zerowe x1 = − 2 i x2 = 6 . Wykres funkcji f przechodzi przez punkt A = (1 ,−5 ) . Oblicz najmniejszą wartość funkcji f .

Zadanie 33
(4 pkt)

Punkt C = (0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC , którego wierzchołek A leży na osi Ox , a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D = (3,4 ) .

PIC

Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB .

Zadanie 34
(5 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC , w którym |∡ACB | = 90∘ (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4:3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEF C graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania