/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (stara formuła)
poziom rozszerzony 9 maja 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(5 pkt)

Funkcja jest określona wzorem f(x ) = |x+-2|− x + 3 |x − 1| x+ 2 , dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= −2 . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Zadanie 2

(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i , takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej , prawdziwa jest nierówność x+a- y y+a + x > 2 .

Zadanie 3

(3 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na ramieniu tego trójkąta wybrano punkt ( M ⁄= A i M ⁄= C ), a na ramieniu wybrano punkt , w taki sposób, że |AM | = |CN | . Przez punkty i poprowadzono proste prostopadłe do podstawy tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty i . Udowodnij, że 1 |ST | = 2|AB | .

Zadanie 4

(5 pkt)

Ciąg (a,b,c) jest geometryczny, ciąg (a + 1,b + 5,c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a + b + c = 39 . Oblicz a,b,c .

Zadanie 5

(6 pkt)

Dane są okręgi o równaniach 2 2 x + y − 12x − 8y + 43 = 0 i 2 2 2 x + y − 2ax + 4y + a − 77 = 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 6

(5 pkt)

Wielomian określony wzorem W (x ) = 2x3 + (m 3 + 2 )x2 − 11x − 2(2m + 1) jest podzielny przez dwumian (x− 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x + 1 ) daje resztę 6. Oblicz oraz pierwiastki wielomianu dla wyznaczonej wartości .

Zadanie 7

(4 pkt)

Rozwiąż równanie cos2x = sin x + 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 8

(4 pkt)

Punkt leży na boku trójkąta ABC oraz |AC | = 16 , |AD | = 6 , |CD | = 14 i |BC | = |BD | . Oblicz obwód trójkąta ABC .

Zadanie 9

(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja kwadratowa określona wzorem

2 f (x) = (2m + 1)x + (m + 2)x+ m − 3

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x 2 spełniające warunek (x1 − x2)2 + 5x 1x 2 ≥ 1 .

Zadanie 10

(3 pkt)

Ze zbioru {1 ,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 11

(6 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD , którego boki mają długości |AB | = 32 i |BC | = 18 . Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem . Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Miary kątów i spełniają warunek: ∘ α + β = 90 . Oblicz tgα oraz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.