/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 11 kwietnia 2015 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Jeśli a = bb−c- , to
A) b = a+1- a⋅c B) b = a⋅c- a+1 C) a⋅c b = a−-1- D) a−1 b = -a⋅c-

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ( √ -)2 5−√--5 5 jest równa
A) √ -- 6 − 3 5 B) 4 C) √ -- 6 − 2 5 D) 6

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba 1,1 jest przybliżeniem z niedomiarem liczby log 13 17 i błąd bezwzględny tego przybliżenia jest mniejszy od 0,01. Liczba

|1,11− lo g1317| + |1,1− lo g1317|

jest równa
A) 2,21 − 2 log1317 B) 0,01 C) 2 log 1317 − 2,21 D) 2,21

Zadanie 4
(1 pkt)

Okrąg o średnicy 6 jest styczny do osi Oy , a oś Ox jest jego osią symetrii. Środek tego okręgu ma współrzędne
A) (0,3 ) B) (6,0) C) (3,0) D) (0,6)

Zadanie 5
(1 pkt)

Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorami f (x) = 1x − 1 3 oraz x g (x ) = 3 . Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji jest równa
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0

Zadanie 6
(1 pkt)

Punkty A = (19,− 4) i C = (− 3,− 18) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie
A) S = (11,7) B) S = (8,− 11) C) S = (16,− 22) D) S = (11,− 11)

Zadanie 7
(1 pkt)

Wskaż równość fałszywą.
A) − 973 = (− 97 )3 B) 974 = (− 97)4 C) ∘ -------- (− 97 )2 = − 97 D) √3----- 3√ --- − 97 = − 97

Zadanie 8
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i spełniona jest równość 2 tg α = 3 . Wtedy wartość wyrażenia sin α − cos α jest równa
A) √ -- -1133 B) √-- − -1133- C) 0 D) − -1 13

Zadanie 9
(1 pkt)

Liczba osób planujących wziąć udział w demonstracji początkowo wzrosła o 30%, a po dwóch dniach zmalała o 40%. W wyniku tych dwóch zmian liczba osób planujących wziąć udział w demonstracji zmalała o
A) 24% B) 10% C) 78% D) 22%

Zadanie 10
(1 pkt)

Na płaszczyźnie dane są punkty: A = (0,0) , √ --√ -- B = ( 6, 2) i √ -- C = (0, 2) . Kąt BAC jest równy
A) ∘ 30 B) ∘ 4 5 C) ∘ 60 D) ∘ 75

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja f , określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie x resztę z dzielenia tej liczby przez 7. Która z poniższych funkcji nie ma miejsca zerowego?
A) f(x )− 5 B) 2f(x )− 8 C) f(x )− 7 D) 2 − f(x )

Zadanie 12
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS . Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oznaczono literą:

PIC

A) α B) β C) γ D) δ

Zadanie 13
(1 pkt)

Ekipa złożona z 16 pracowników wykonała dach hali przemysłowej w ciągu 65 dni. Jeżeli dach na drugiej takiej samej hali trzeba wykonać w ciągu 52 dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o
A) 2 osoby więcej. B) 4 osoby więcej. C) 6 osób więcej. D) 8 osób więcej.

Zadanie 14
(1 pkt)

Który z rysunków może przedstawiać wykres funkcji kwadratowej y = ax2 + bx + c takiej, że ac > 0 ?

PIC

Zadanie 15
(1 pkt)

Równanie (3x−5)(3−x) (2x−1)(x+3) = 51−−-32xx ma dwa rozwiązania. Są to liczby:
A) 3 i − 3 B) 3 i 5 3 C) 0 i 3 D) 0 i 53

Zadanie 16
(1 pkt)

Liczba ∘ ∘ tg 120 ⋅cos6 0 jest równa liczbie
A) sin 60∘ B) cos 120∘ C) sin 120∘ D) cos 150∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Krótsza przekątna rombu o boku długości 6 tworzy z jego bokiem kąt o mierze 75∘ . Pole tego rombu jest równe
A) 18 B) 9 C) 36 D) √ -- 18 3

Zadanie 18
(1 pkt)

Tworząca stożka ma długość l , a promień jego podstawy jest równy r (zobacz rysunek).

PIC

Powierzchnia boczna tego stożka jest 3 razy większa od pola jego podstawy. Wówczas
A) r = 1l 6 B) r = 1l 4 C) 1 r = 3 l D) 1 r = 2 l

Zadanie 19
(1 pkt)

Suma dwunastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an ) jest równa 42. Pierwszy wyraz a1 tego ciągu jest równy 4. Wtedy
A) a12 = 3141 B) a12 = − 111 C) a = 32 12 11 D) a = 3 12

Zadanie 20
(1 pkt)

Jeżeli trójkąty ABC i ′ ′ ′ A B C są podobne, a ich obwody są odpowiednio równe 25 cm i 50 cm, to skala podobieństwa trójkątów ′ ′ ′ A B C i ABC jest równa
A) 2 B) 1 2 C) √ -- 2 D) √-2 2

Zadanie 21
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , w którym √ -- a1 = − 3 , a2 = 3 , √ -- a3 = −3 3 . Dziewiąty wyraz tego ciągu, czyli a9 , jest równy
A) 243 B) − 243 C) √ -- 81 3 D) √ -- − 81 3

Zadanie 22
(1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α przedstawiony na rysunku ma miarę:

PIC

A) 160 ∘ B) 80∘ C) 100 ∘ D) 70∘

Zadanie 23
(1 pkt)

Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech pi oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez i+ 1 . Wtedy
A) 2p 4 = p2 B) 2p 6 = p3 C) 2p3 = p6 D) 2p 2 = p4

Zadanie 24
(1 pkt)

Na okręgu wybrano 20 punktów i połowę z nich pomalowano na biało, a drugą połowę na czarno. Ile jest odcinków o końcach w tych punktach, których jeden koniec jest biały, a drugi czarny?
A) 380 B) 190 C) 90 D) 100

Zadania otwarte

Zadanie 25
(2 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby naturalne n , dla których 6n−-2 n+1 = 3n − 5 .

Zadanie 26
(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej k prawdziwa jest nierówność 2 9k + 9k + 2 > 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Udowodnij, że po wymnożeniu kolejnych liczb naturalnych od 1 do 30, czyli po wykonaniu działania 1 ⋅2⋅ 3⋅...⋅ 30 , otrzymamy liczbę, która kończy się dokładnie 7 zerami.

Zadanie 28
(2 pkt)

Koło K 1 ma promień długości r . Wewnątrz tego koła rysujemy kolejno koła K ,K ,K ,... 2 3 4 takie, że kolejne koło ma średnicę równą promieniowi poprzedniego koła.

PIC

Wyznacz pole koła K10 .

Zadanie 29
(2 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC , w którym ∡BAC = 90∘ i ∡ABC = 30∘ , wybrano na przyprostokątnej AB punkt D tak, że ∡ADC = 45∘ . Oblicz stosunek długości odcinków CB i CD .

PIC

Zadanie 30
(4 pkt)

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o obwodzie 40 ma długość 17. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Zadanie 31
(4 pkt)

W prostokącie ABCD dane są A = (− 7,0 ) , B = (− 5 ,2 ) i C = (1,− 4) . Napisz równanie prostej, która jest styczna w punkcie D do okręgu opisanego na prostokącie ABCD .

Zadanie 32
(4 pkt)

Samochód przejechał połowę trasy ze średnią prędkością 40 km/h. Na całej trasie średnia prędkość samochodu była równa 48 km/h. Oblicz z jaką średnią prędkością samochód przejechał pozostałą część trasy.

Zadanie 33
(4 pkt)

Punkty K i L są środkami odpowiednio podstawy ABCD i krawędzi F G sześcianu ABCDEF GH . Suma kwadratów długości odcinków HK i BL jest równa 33. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu.

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania