/Szkoła średnia
Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 15 maja 2024 Czas pracy: 180 minut
W chwili początkowej filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa . Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa . Temperatura tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością
gdzie:
-
– temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
-
– czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
-
– temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
-
– temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
-
– stała charakterystyczna dla danej cieczy.
Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury . Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności.
Oblicz granicę .
W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200–gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe 0,01. Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań ze śmietaną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt , o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji . Prosta o równaniu jest styczna do wykresu funkcji w punkcie . Oblicz współczynniki oraz w równaniu tej stycznej.
Wykaż, że jeżeli oraz , to .
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby oraz są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego , określonego dla każdej liczby naturalnej . Oblicz oraz .
Dany jest trójkąt , który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta jest dwa razy większa od miary kąta . Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek
Dany jest kwadrat o boku długości . Punkt jest środkiem boku . Przekątna dzieli trójkąt na dwie figury: oraz (zobacz rysunek).
Oblicz pola figur oraz .
Rozwiąż równanie
w zbiorze .
W kartezjańskim układzie współrzędnych środek okręgu o promieniu leży na prostej o równaniu . Przez punkt , którego odległość od punktu jest większa od , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – i . Pole czworokąta jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu . Rozważ wszystkie przypadki.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż .
-
Wykaż, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
-
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.