/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 5 maja 2015 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności − 4 ≤ x − 1 ≤ 4 .

PIC

Zadanie 2
(1 pkt)

Dane są liczby 1- a = − 27, b = log 14 64 , c = log 13 27 . Iloczyn abc jest równy
A) − 9 B) − 1 3 C) 1 3 D) 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa
A) ( 81- 4-) 100 0⋅ 1− 100 ⋅ 100
B) ( 19- -4-) 1000 ⋅ 1 + 100 ⋅100
C) ( ) 81- -4- 1000 ⋅ 1+ 100 ⋅100
D) ( ) 100 0⋅ 1− 19-⋅ 4-- 100 100

Zadanie 4
(1 pkt)

Równość m 5+ √5 5−√-5 = --5-- zachodzi dla
A) m = 5 B) m = 4 C) m = 1 D) m = − 5

Zadanie 5
(1 pkt)

Układ równań { x− y = 3 2x+ 0,5y = 4 opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
A) zbiór pusty.
B) dokładnie jeden punkt.
C) dokładnie dwa różne punkty.
D) zbiór nieskończony.

Zadanie 6
(1 pkt)

Suma wszystkich pierwiastków równania (x + 3)(x + 7)(x − 11) = 0 jest równa
A) − 1 B) 21 C) 1 D) − 21

Zadanie 7
(1 pkt)

Równanie x−1-= x − 1 x+1
A) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 1 .
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0 .
C) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = − 1 .
D) ma dokładnie dwa rozwiązania: x = 0, x = 1 .

Zadanie 8
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .

PIC

Zbiorem wartości funkcji f jest
A) (− 2,2) B) ⟨− 2,2) C) ⟨− 2,2⟩ D) (− 2,2⟩

Zadanie 9
(1 pkt)

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x) = (m − 1)x + 3 leży punkt S = (5,− 2) . Zatem
A) m = − 1 B) m = 0 C) m = 1 D) m = 2

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja liniowa f określona wzorem f(x) = 2x + b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g (x) = − 3x + 4 . Stąd wynika, że
A) b = 4 B) b = − 3 2 C) 8 b = − 3 D) 4 b = 3

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem 2 f(x) = x + x + c . Jeżeli f(3) = 4 , to
A) f(1 ) = − 6 B) f(1) = 0 C) f(1) = 6 D) f (1 ) = 18

Zadanie 12
(1 pkt)

Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność 2 < -x < 4 7 14 3 ?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17

Zadanie 13
(1 pkt)

W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , spełniony jest warunek a4 = 3a 1 . Iloraz q tego ciągu jest równy
A) q = 1 3 B) q = √1- 3 3 C) √ -- q = 33 D) q = 3

Zadanie 14
(1 pkt)

Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy

PIC

A) √ - − -33 B) − 45 C) − 1 D) − 5 4

Zadanie 15
(1 pkt)

Jeżeli 0∘ < α < 90∘ oraz tg α = 2 sinα , to
A) 1 cosα = 2 B) √2 co sα = 2-- C) √- co sα = -3- 2 D) cos α = 1

Zadanie 16
(1 pkt)

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20∘ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa
A) 5∘ B) 10 ∘ C) 20∘ D) 30∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α . Wtedy
A) ∘ ∘ 14 < α < 15 B) ∘ ∘ 29 < α < 30 C) 60∘ < α < 61∘ D) 75∘ < α < 76∘

Zadanie 18
(1 pkt)

Prosta l o równaniu y = m2x + 3 jest równoległa do prostej k o równaniu y = (4m − 4)x − 3 . Zatem
A) m = 2 B) m = − 2 C) √ -- m = − 2 − 2 2 D) √ -- m = 2 + 2 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Proste o równaniach: y = 2mx − m 2 − 1 oraz y = 4m 2x + m 2 + 1 są prostopadłe dla
A) m = − 1 2 B) m = 1 2 C) m = 1 D) m = 2

Zadanie 20
(1 pkt)

Dane są punkty M = (− 2,1) i N = (− 1,3) . Punkt K jest środkiem odcinka MN . Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
A) ( ) K ′ = 2,− 3 2 B) ( ) K ′ = 2, 3 2 C) ′ ( 3 ) K = 2,2 D) ′ (3 ) K = 2,− 2

Zadanie 21
(1 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EF GHIJKL wierzchołki E,G ,L połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

PIC

Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A) ∡HOL B) ∡OGL C) ∡HLO D) ∡OHL

Zadanie 22
(1 pkt)

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Objętość tego stożka jest równa
A) √ -- 27 π 3 B) √ -- 9π 3 C) 18π D) 6π

Zadanie 23
(1 pkt)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
A) 2 (√ - ) 83 -23+ 3 B) √ -- 8 2 ⋅ 3 C) 82√6 --3-- D) 2 (√ 3 ) 8 -2-+ 3

Zadanie 24
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9, x . Wynika stąd, że
A) x = 0 B) x = 3 C) x = 5 D) x = 6

Zadanie 25
(1 pkt)

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
A) p = 14 B) p = 38 C) p = 1 2 D) p = 2 3

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 2x − 4x > (x + 3)(x − 2) .

Zadanie 27
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 2 2 4x − 8xy + 5y ≥ 0 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC . Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że 1 |BL | = 3 |BE | i 1 |DN | = 3|DE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.

PIC

Zadanie 29
(2 pkt)

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej 2 f (x) = x − 6x + 3 w przedziale ⟨0,4⟩ .

Zadanie 30
(2 pkt)

W układzie współrzędnych są dane punkty A = (−4 3,− 12), B = (50,19 ) . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .

Zadanie 31
(2 pkt)

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy 4 7 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1 2 . Wyznacz ten ułamek.

Zadanie 32
(4 pkt)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 35 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zadanie 33
(4 pkt)

Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletów Liczba osób
ulgowe 76
normalne 41

Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Zadanie 34
(5 pkt)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (a ) n , w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn) . Oblicz k .

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania