/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 1 kwietnia 2017 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Suma sześciu kolejnych potęg naturalnych liczby 2 jest równa 2016. Najmniejszą z tych liczb jest
A) 5 B) 8 C) 16 D) 32

Zadanie 2
(1 pkt)

Cenę pewnego towaru obniżono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru obniżono o 30%. Takie dwie obniżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną obniżką
A) o 50% B) o 56% C) o 44% D) o 66%

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba ( ) 27−4⋅8−2 − 3 4−2⋅9−5 jest równa
A) 1 36⋅212 B) 6 12 C) 12 6 D) 66

Zadanie 4
(1 pkt)

Równość √ -- √ -- √ -- (a 2 − 2 b)2 = 12− 8 2 jest prawdziwa dla
A) a = 1 i b = 2 B) a = 1 i b = 3 C) a = 3 i b = 2 D) a = 2 i b = 1

Zadanie 5
(1 pkt)

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej 1 2 f(x ) = − 3x − 2x + c jest przedział (− ∞ ,7⟩ . Zatem współczynnik c jest równy
A) − 3 B) 4 C) 7 D) 10

Zadanie 6
(1 pkt)

Różnica √ -- √ --- lo g1 3− log 1 24 2 2 jest równa
A) 2 − 3 B) 3 − 2 C) 2 3 D) 32

Zadanie 7
(1 pkt)

Dana jest funkcja liniowa f (x) = 6 − 34x . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
A) 8 B) 6 C) − 6 D) − 8

Zadanie 8
(1 pkt)

Końce odcinka AB o długości 9 są środkami okręgów o promieniach 6 i 4 (zobacz rysunek).

PIC

Punkt C leży na odcinku AB i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od 6, że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne. Promień okręgu o środku C ma długość
A) 6,5 B) 7,5 C) 8,5 D) 9,5

Zadanie 9
(1 pkt)

Przedstawiona na rysunku bryła składa się z walca i półkuli. Wysokość walca jest taka, jak promień jego podstawy i jest równa R .

PIC

Objętość tej bryły jest równa
A) πR 3 B) 53πR 3 C) 2πR 3 3 D) 2πR 3

Zadanie 10
(1 pkt)

Dana jest funkcja --−-3-- f (x) = 6−x−x 2 . Wskaż maksymalny zbiór, na którym funkcja f przyjmuje wartości ujemne.
A) (− ∞ ,− 3)∪ (2 ,+∞ ) B) (− 2 ,3 ) C) (− 3,2) D) (− ∞ ,− 2)∪ (3,+ ∞ )

Zadanie 11
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , w którym a1 = 72 i a4 = 1 3 . Iloraz q tego ciągu jest równy
A) 1 q = 2 B) 1 q = 6 C) q = 23 D) q = 13

Zadanie 12
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu y = ax + b .

PIC

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
A) a = − 32 B) a = − 23 C) a = − 2 5 D) a = − 3 5

Zadanie 13
(1 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC poprowadzono wysokość AS , która utworzyła z podstawą kąt o mierze ∘ 24 (zobacz rysunek). Ramię tego trójkąta ma długość 10. Długość wysokości AS jest liczbą z przedziału

PIC

A) ⟨ ⟩ 72, 92 B) ⟨ ⟩ 121, 123 C) ( 13 15⟩ 2-,-2 D) (15 17⟩ -2 ,-2

Zadanie 14
(1 pkt)

Piętnasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 6, a różnica tego ciągu jest równa ( ) − 52 . Szósty wyraz tego ciągu jest równy
A) 16 B) 57- 2 C) 21 D) 47 -2

Zadanie 15
(1 pkt)

Dany jest trapez ABCD , w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC , |AD | = |DC | oraz |∡ADC | = 100∘ (zobacz rysunek).

PIC

Stąd wynika, że
A) β = 40∘ B) β = 50∘ C) β = 60∘ D) β = 80∘

Zadanie 16
(1 pkt)

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 0?
A) 162 B) 90 C) 171 D) 172

Zadanie 17
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i 1 tg α = 3 . Wtedy
A) √-- sin α = -10- 10 B) √ -- sin α = 3--10 10 C) 1 sin α = 4 D) √-2 sin α = 4

Zadanie 18
(1 pkt)

Układ równań { y = − 2ax − b y = 8x + a b ma nieskończenie wiele rozwiązań dla
A) a = − 1 i b = 4 B) a = 1 i b = − 4 C) a = − 2 i b = − 2 D) a = − 2 i b = 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Jeżeli do zestawu czterech danych: 3,6,9,x dołączymy liczbę 3, to średnia arytmetyczna wzrośnie o 2. Zatem
A) x = − 6 B) x = − 46 C) x = 1 5 D) x = 31

Zadanie 20
(1 pkt)

W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (− 8,b) . Punkt C = (1,2) jest takim punktem odcinka AB , że |AC | = 14|AB | . Wynika stąd, że
A) a = 1 0 i b = − 2 B) a = 4 i b = − 10 C) a = 2 i b = − 4 D) a = − 6 i b = 3

Zadanie 21
(1 pkt)

Dany jest okrąg o środku S i promieniu r , długość łuku 1 AB = 5 ⋅2 π ⋅r (patrz rysunek).

PIC

Miara kąta α jest równa
A) 36∘ B) 3 0∘ C) 45∘ D) 72∘

Zadanie 22
(1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 3, a przekątna ściany bocznej ma długość 4 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę α .

PIC

Wtedy wartość sin α2 jest równa
A) 3 4 B) √- -7- 4 C) √- 3-2- 8 D) √ - 34-2

Zadanie 23
(1 pkt)

Proste prostopadłe k i l o równaniach y = ax + b oraz y = mx + n przecinają się w punkcie o drugiej współrzędnej ujemnej. Zatem
A) obie liczby b i n mogą być ujemne
B) obie liczby b i n mogą być dodatnie
C) obie liczby b i n muszą być ujemne
D) obie liczby b i n muszą być dodatnie

Zadanie 24
(1 pkt)

Punkty K i L są środkami przyprostokątnych AB i BC trójkąta prostokątnego ABC . Punkty M i N leżą na przeciwprostokątnej AC tak, że odcinki KM i LN są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta CNL jest równe 2, a pole trójkąta AMK jest równe 5.

PIC

Zatem pole trójkąta ABC jest równe
A) 32 B) 16 C) 28 D) 18

Zadanie 25
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 21, 14, 19, 15, 24, x , jest równa x 3 . Mediana tych liczb jest równa
A) 17 B) 20 C) 19 D) 21

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Dane są proste o równaniach y = −x + 2b − 4 oraz y = 1x− b 4 , które przecinają się w punkcie leżącym na osi Ox układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Oy .

Zadanie 27
(2 pkt)

Punkt E jest punktem wspólnym dwusiecznych kątów ABC i BCD trapezu ABCD o podstawach AB i CD . Punkt F jest środkiem odcinka BC (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |BC | = 2|EF | .

Zadanie 28
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2 5x + 1 0x ≤ (x + 2)(x − 12 ) .

Zadanie 29
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają warunek a+ b+ c = 0 , to

2 2 2 a + 3c + bc + 4ac = 2b + ab.

Zadanie 30
(4 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,4,5,6,7} losujemy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A , polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 4.

Zadanie 31
(5 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , w którym a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 3135 oraz a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 3 135 . Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (an) .

Zadanie 32
(4 pkt)

Jeden z kątów trójkąta jest cztery razy mniejszy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o ∘ 9 . Oblicz kąty tego trójkąta.

Zadanie 33
(4 pkt)

Dany jest stożek o polu powierzchni bocznej równym √ -- 3-61π 2 , w którym tangens kąta nachylenia tworzącej do podstawy jest równy 5 6 . Oblicz objętość tego stożka.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania