/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom podstawowy 4 marca 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 6100 + 6100 + 6 100 + 6100 + 6100 + 6100 jest równa
A) 6600 B) 6101 C) 100 36 D) 600 36

Zadanie 2
(1 pkt)

Wartość wyrażenia lo g 98 − log 2 7 7 jest równa
A) 7 B) 2 C) 1 D) (− 1)

Zadanie 3
(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra 2, jest
A) 900 B) 729 C) 648 D) 512

Zadanie 4
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej a wartość wyrażenia (3 + 4a )2 − (3 − 4a)2 jest równa
A) 2 32a B) 0 C) 48a D) 8a2

Zadanie 5
(2 pkt)

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ
A) { (α+ β)+ β = 90 ∘ α+ β = 2α − β B) { (α+ β)+ β = 18 0∘ α+ β = 2α − β C) { (α + β) + β = 90∘ β = 2 α− β

D) { α + β = 90∘ β = 2α − β E) { α + β = 2α− β ∘ 180 − (2α − β ) = β F) { 3α + 2β = 360∘ 2α − β = 2 β

Zadanie 6
(1 pkt)

Dany jest wielomian 3 2 W (x) = 3x + kx − 12x − 7k+ 12 gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba (−2 ) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Liczba k jest równa
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

Zadanie 7
(1 pkt)

Równanie

(4x− 6)(x − 2)2 ------------------- = 0 2x (x− 1,5)(x + 6)

ma w zbiorze liczb rzeczywistych
A) dokładnie jedno rozwiązanie: x = 2 .
B) dokładnie dwa rozwiązania: x = 1,5, x = 2 .
C) dokładnie trzy rozwiązania: x = − 6, x = 0, x = 2 .
D) dokładnie cztery rozwiązania: x = −6 , x = 0, x = 1,5, x = 2 .

Zadanie 8
(1 pkt)

Spośród rysunków A–D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

|x + 1| ≤ 2.

ZINFO-FIGURE

Zadanie 9
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 2 n + 202 3 jest podzielna przez 8.

Informacja do zadań 10.1 – 10.3

Dana jest funkcja kwadratowa f , której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 10.1
(1 pkt)

Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g (x) = f(x − 2 ) . Wykres funkcji g przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 10.2
(1 pkt)

Rozwiąż nierówność f (x) ≤ 0 .

Zadanie 10.3
(3 pkt)

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.

Zadanie 11
(1 pkt)

Dana jest funkcja liniowa f określona wzorem f(x) = ax + b , gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji f przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) na rysunku poniżej

ZINFO-FIGURE

Współczynniki a i b we wzorze funkcji f spełniają warunki
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Zadanie 12
(1 pkt)

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny P swojego produktu na liczbę Q kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o 1 jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o 3 jednostki. Ponadto przy cenie równej 5 jednostek liczba kupujących jest równa 12 jednostek. Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór
A) 2 Q = − 0,9P + 6,9 B) Q = − 3P + 27
C) P = − 0,9Q 2 + 6 ,9 D) P = − 3Q + 2 7

Informacja do zadań 13.1 i 13.2

Czas T półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa m leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

( ) t 1 T m (t) = m 0 ⋅ -- , 2

gdzie:

  • m 0 – masa przyjętej dawki leku,

  • T – czas półtrwania leku,

  • t – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.
Pacjent otrzymuje co 4 dni o tej samej godzinie dawkę m 0 = 10 0 mg leku L. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy T = 4 doby.

Zadanie 13.1
(1 pkt)

Wykres zależności masy M leku L w organizmie tego pacjenta od czasu t , liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 13.2
(3 pkt)

Oblicz masę leku L w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,1 mg.

Zadanie 14
(1 pkt)

Klient wpłacił do banku 20 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 3% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po 2 latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
A) 2 20 000 ⋅(1,12) B) 20 000 ⋅2 ⋅1,03 C) 200 00⋅ 1,06 D) 20 000 ⋅(1,03)2

Zadanie 15
(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem an = − 3n + 5 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Liczby 2 ,(−1 ),(−4 ) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu (a ) n .PF
Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej 5. PF

Zadanie 16
(1 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AB | = 6 , |BC | = 5 , |AC | = 10 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta ABC jest równy (− 0 ,6 5) .PF
Trójkąt ABC jest rozwartokątny. PF

Zadanie 17
(1 pkt)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , dany jest okrąg o środku S = (2,− 5) i promieniu r = 3 . Równanie tego okręgu ma postać
A) (x − 2)2 + (y + 5)2 = 9 B) 2 2 (x + 2) + (y − 5) = 3
C) 2 2 (x − 2) + (y + 5) = 3 D) (x + 2)2 + (y − 3)2 = 9

Zadanie 18
(1 pkt)

Odcinki AD i BC przecinają się w punkcie O . W trójkątach ABO i ODC zachodzą związki: |AO | = 5 , |BO | = 3 , |OC | = 10 , |∡OAB | = |∡OCD | (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość boku OD trójkąta ODC .

Informacja do zadań 19.1 i 19.2

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) , dana jest prosta k o równaniu y = − 3x+ 1 .

Zadanie 19.1
(1 pkt)

Jedną z prostych równoległych do prostej k jest prosta o równaniu
A) y = 3x + 2 B) y = − 3x + 2 C) 1 y = 3x+ 1 D) 1 y = − 3x + 1

Zadanie 19.2
(1 pkt)

Jedną z prostych prostopadłych do prostej k jest prosta o równaniu
A) y = 13x + 2 B) y = − 13x+ 2 C) y = 3x + 1 D) y = −3x + 1

Zadanie 20
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest kwadrat ABCD . Wierzchołki A = (− 2,1) i C = (4,5) są końcami przekątnej tego kwadratu. Długość przekątnej kwadratu ABCD jest równa
A) 10 B) √ --- 2 13 C) √ --- 2 1 0 D) 8

Zadanie 21
(1 pkt)

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku w punkcie O i promieniu r = 8 (zobacz rysunek). Cięciwa AC ma długość √ -- 8 3 .

ZINFO-FIGURE

Miara kąta BAC jest równa
A) 30∘ B) 4 5∘ C) 15∘ D) 60∘

Zadanie 22
(1 pkt)

Kąt α jest ostry oraz 4 tgα = 3sin2α + 3 cos2 α . Tangens kąta α jest równy
A) 3 4 B) 4 3 C) 1 4 D) 4

Zadanie 23
(1 pkt)

Dane są dwa trójkąty podobne ABC i KLM o polach równych – odpowiednio – P oraz 2P . Obwód trójkąta ABC jest równy x .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Obwód trójkąta KLM jest równy

A) -- √ 2 ⋅x ,B) 2x ,
ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy
1) kwadratowi stosunku pól tych trójkątów.
2) pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów.
3) stosunkowi pól tych trójkątów.

Zadanie 24
(1 pkt)

Punkty A oraz B leżą na okręgu o środku O . Proste k i l są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – A i B . Te proste przecinają się w punkcie S i tworzą kąt o mierze ∘ 76 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta OBA jest równa
A) 52∘ B) 2 6∘ C) 14∘ D) 38∘

Zadanie 25
(1 pkt)

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt ABCD , w którym bok BC odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna AC tego prostokąta ma długość 16 i tworzy z bokiem BC kąt o mierze 30∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa.
A) 8 B) √ -- 8 3 C) √ -- 2 3 D) 2

Zadanie 26
(1 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC . Punkty D , E i F są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych AS , BS i CS (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Stosunek objętości ostrosłupa DEF S do objętości ostrosłupa ABCS jest równy
A) 3 : 4 B) 1 : 4 C) 1 : 8 D) 3 : 8

Zadanie 27
(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF . Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt α pomiędzy ścianą boczną ACF D i przekątną AE ściany bocznej ABED tego graniastosłupa?

ZINFO-FIGURE

Zadanie 28
(3 pkt)

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od 1000 do 9999. Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej 3, jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.

Zadanie 29
(4 pkt)

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze  ∘ 30 .

  • Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości x boku równoległoboku.

  • Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Informacja do zadań 30.1 i 30.2

W pewnej grupie 100 uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 30.1
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa 2,25 godziny. PF
Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż 2,5 godziny. PF

Zadanie 30.2
(1 pkt)

Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa
A) 2,25 godziny B) 2,50 godziny C) 2,75 godziny D) 1,50 godziny

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania