/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 10 marca 2018 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba | | | | |4 37 − 825|− |0,559 − 0 ,2529| jest równa
A) 825 − 437 + 0,559 − 0 ,2529
B) 25 37 59 29 8 − 4 − 0,5 + 0,25
C) 37 25 59 29 4 − 8 + 0 ,5 − 0,2 5
D) 437 − 825 − 0 ,559 + 0,2 529

Zadanie 2

(1 pkt)

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 20%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła
A) o mniej niż 50%, ale więcej niż 40%.
B) o mniej niż 60% , ale więcej niż 50%.
C) dokładnie o 60%.
D) o więcej niż 60%.

Zadanie 3

(1 pkt)

Różnica √ -- 3 lo g√- 6 2− log√ -27 2 3 jest równa
A) 7 B) -2 log 681 C) − 5 D) − 2

Zadanie 4

(1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności 4+xx−3-< 0 jest
A) (3,+ ∞ ) B) (− ∞ ,− 4) C) (− 4,3) D) (− ∞ ,− 4)∪ (3,+ ∞ )

Zadanie 5

(1 pkt)

Dla każdej liczby dodatniej wyrażenie √ -- p− 6 p + 8 jest równe
A) √ -- √ -- ( p − 1)( p − 8)
B) √ -- √ -- ( p + 1)( p + 8)
C) (√p--+ 4)(√p--+ 2 )
D) (√p--− 4)(√p--− 2 )

Zadanie 6

(1 pkt)

Najmniejszą wartością funkcji kwadratowej f(x) = x 2 + x 2 jest
A) -1 − 16 B) 1 − 4 C) − 18 D)

Zadanie 7

(1 pkt)

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 3 − 5x ≤ 6 .

Zadanie 8

(1 pkt)

Rozwiązaniem układu równań { 3x − 7y = 3 6x + 14y = b z niewiadomymi i jest para liczb, których suma jest równa 0. Wynika stąd, że
A) b > 6 B) b = − 125 C) b < − 6 D) b = 3- 10

Zadanie 9

(1 pkt)

Liczba -√--1---4 ( 10− 3) jest równa
A) √ --- ( 10 − 3 )4 B) 119 C) √ --- 4 ( 10 + 3) D) √-- (-10+3)4 2401

Zadanie 10

(1 pkt)

Równanie 2 2 2 x (1 6+ x )(9− x ) = 0 ma dokładnie
A) pięć rozwiązań: x = 0,x = − 3,x = 3,x = − 4,x = 4
B) trzy rozwiązania: x = 0 ,x = − 3,x = 3
C) dwa rozwiązania:
D) jedno rozwiązanie: x = 3

Zadanie 11

(1 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) , określony dla n ≥ 1 , o którym wiemy, że: a1 = 3 i a2 = 1 1 . Wtedy an = 107 dla
A) n = 11 B) n = 12 C) n = 13 D) n = 14

Zadanie 12

(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem 2 f (x) = ax + bx + c .

Współczynniki i spełniają warunki:
A) b < 0 , c > 0 B) b < 0, c < 0 C) b > 0 , c > 0 D) b > 0 , c < 0

Zadanie 13

(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem x f (x) = a . Wartość funkcji dla x = 5 jest cztery razy większa, niż wartość dla x = 1 .

Podstawa potęgi jest równa
A) 2 B) √ -- 42 C) √ -- − 2 D) √ 2-

Zadanie 14

(1 pkt)

Kąt jest ostry i tg α = 15 8 . Wówczas sin α jest równy
A) 8 17 B) 15 √161- C) 5 13 D) 15 17

Zadanie 15

(1 pkt)

Na okręgu o środku w punkcie leży punkt (zobacz rysunek). Odcinek jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy ma miarę

A) 96∘ B) 8 4∘ C) 42∘ D) 132∘

Zadanie 16

(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny

( ) 8 x-7 x6- x5--x- x3- x2- x , 2 ,4 , 8 ,16 ,32, 64

o wyrazach dodatnich. Wtedy
A) x = 1 B) x = 2 C) 1 x = 2 D) x = 4

Zadanie 17

(1 pkt)

Każda z dwudziestu ścian dwudziestościanu foremnego jest trójkątem równobocznym. Liczba wszystkich krawędzi dwudziestościanu foremnego jest równa
A) 60 B) 30 C) 15 D) 20

Zadanie 18

(1 pkt)

Dany jest sześciokąt foremny, którego pole jest równe 12√ 3- . Bok tego sześciokąta ma długość
A) √ -- 2 2 B) 8 C) 4 D) √ -- 4 3

Zadanie 19

(1 pkt)

Punkt jest rzutem prostopadłym punktu A = (− 7,− 2) na prostą o równaniu y = 3x − 1 . Wskaż równanie prostej .
A) y = − 3x − 23 B) 1 13 y = − 3x − 3 C) y = − 13x− 73 D) y = − 13x + 113-

Zadanie 20

(1 pkt)

Trójkąt jest podobny do trójkąta w skali k = 13 , a trójkąt jest podobny do trójkąta w skali k = 6 . Pole trójkąta jest równe 32. Trójkąt ma pole równe
A) 128 B) 8 C) 16 D) 24

Zadanie 21

(1 pkt)

Prosta oraz prosta o równaniu 3x = y − 3(1 − x ) są prostopadłe oraz przecinają się w punkcie (2,3) . Prosta ma równanie
A) x − y + 1 = 0 B) x− 2 = 0 C) y − 3 = 0 D) x + y = 5

Zadanie 22

(1 pkt)

Jedno z ramion kąta (rysunek) leży na osi odciętych, a drugie przechodzi przez punkt P (− 8;15) .

Zatem cosα jest równy
A) 187 B) − 185 C) − 817- D) -8 15

Zadanie 23

(1 pkt)

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 7?
A) 1285 B) 1428 C) 1284 D) 1286

Zadanie 24

(1 pkt)

Dany jest stożek o wysokości 5 i średnicy podstawy 6. Objętość tego stożka jest równa
A) 60π B) 15π C) 45 π D) 75π

Zadanie 25

(1 pkt)

Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sześciu różnych liczb oczek, jest równe
A) -5- 324 B) --1-- 46656 C) 1 6 D) 1 1296

Zadania otwarte

Zadanie 26

(2 pkt)

Wykaż, że 16 16 119 − 117 jest liczbą podzielną przez 59.

Zadanie 27

(2 pkt)

Rozwiąż nierówność ( ) ( ) ( ) x − 1 x ≤ 2 x− 1 x + 1 3 3 2 .

Zadanie 28

(2 pkt)

Dwusieczna kąta ostrego ACB przecina przyprostokątną trójkąta prostokątnego ABC w punkcie .

Udowodnij, że jeżeli |AD | = 12 ⋅|CD | , to |BD | = |CD | .

Zadanie 29

(2 pkt)

Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność

2 2 2 a-+--b-+-c--≥ a+ b+ c− 3. 2 2

Zadanie 30

(2 pkt)

Oblicz

2 2 2 2 2 2 2 2 2018 − 201 7 + 2 016 − 2015 + ⋅⋅⋅+ 4 − 3 + 2 − 1 .

Zadanie 31

(2 pkt)

Ze zbioru liczb trzycyfrowych losujemy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn cyfr wylosowanej liczby jest liczbą parzystą?

Zadanie 32

(4 pkt)

Funkcja kwadratowa f (x) = ax2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe x = − 6 1 i x = 4 2 . Wykres funkcji przechodzi przez punkt A = (− 4 ,− 4 ) . Oblicz najmniejszą wartość funkcji .

Zadanie 33

(5 pkt)

Dwa boki trójkąta prostokątnego ABC są zawarte w prostych o równaniach y = 2x+ 1 oraz y = 14x − 34 . Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC jeżeli wiadomo, że jego trzeci bok jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K = (2,− 2) . Rozważ wszystkie możliwości.

Zadanie 34

(4 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD ,BE i (zobacz rysunek). Krawędzie boczne graniastosłupa mają długość 8, a tangens kąta między wysokością trójkąta ABF poprowadzoną z wierzchołka i płaszczyzną podstawy ABC tego graniastosłupa jest równy 4√3- 3 . Oblicz pole trójkąta ABF .