/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 2 czerwca 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Równanie ||x − 4|− 2| = 2 ma dokładnie
A) dwa rozwiązania rzeczywiste.
B) jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C) cztery rozwiązania rzeczywiste.
D) trzy rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba log 25 + log 1 0 4 2 jest równa
A) lo g215 B) log2 50 C) log 2210 D) log 2635

Zadanie 3
(1 pkt)

Punkt ′ P = (3,− 3) jest obrazem punktu P = (1 ,3) w jednokładności o środku w punkcie S = (− 2,12) . Skala tej jednokładności jest równa
A) 3 5 B) 5 3 C) 2 D) 3

Zadanie 4
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = -x--- 2x− 8 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 4 . Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu √ -- x = 2+ 4 jest równa
A) −61 B) √ - -√2+22 C) − 1 D) √ -- 2 2

Zadanie 5
(1 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 1 4 . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A) 37 B) 17 C) 73 D) 7

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Funkcja kwadratowa f (x) = −x 2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe: x1 = − 1 i x 2 = 12 . Oblicz największą wartość tej funkcji.

Zadanie 7
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

2 2 5x + y − 4xy + 6x + 9 ≥ 0.

Zadanie 8
(3 pkt)

Miary kątów trójkąta ABC są równe α = |∡BAC | , β = |∡ABC | i γ = |∡ACB | . Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki AS i BS przecinają boki BC i AC tego trójkąta w punktach odpowiednio D i E (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli α + β = 2γ , to na czworokącie DCES można opisać okrąg.

Zadanie 9
(4 pkt)

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 15. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Zadanie 10
(5 pkt)

Ciąg (an) jest arytmetyczny, a ciąg (bn ) jest geometryczny. Pierwszy wyraz a 1 ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego (bn) . Wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz b1 ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego (an ) . Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (bn) jest równa 18. Wyznacz te ciągi.

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie ( ) ( ) 3 sin x − π4- + cos x+ π4- = 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 12
(5 pkt)

Prosta l , na której leży punkt P = (8,2) , tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej l .

Zadanie 13
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 − 3mx + 2m 2 + 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału (− ∞ ,3) .

Zadanie 14
(6 pkt)

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P . Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP .

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy 1:2 oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania