/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 2 czerwca 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia ( √ -- √ -- )3 ( 3 − 1)2 − ( 3+ 1)2 jest równa
A) 512 B) 0 C) √ -- − 2 4 3 D) √ -- − 192 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Granice 2 lim ann++bn1+4- n→+ ∞ i --n+-1--- nl→im+ ∞ an2+bn+4 są równe. Stąd wynika, że
A) a = 0 i b = 0 B) |a| = 1 i b = 0 C) |a| = 1 i |b| = 1 D) a = 0 i |b| = 1

Zadanie 3
(1 pkt)

Wektory → a = [m − 2,m + 2] oraz → b = [m 1,5,21,5] mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy
A) m = 0 lub m = 4 B) m = 0 lub m = 2 C) m = 2 D) m = 2 lub m = 4

Zadanie 4
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x . Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f .

PIC

A) f(x ) = 2sin(2x ) B) f(x) = 2 π ⋅sin (2x)
C) f(x) = 2sin (x) 2 D) f(x) = 2π ⋅sin (x ) 2

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Wynikiem dzielenia wielomianu 3 2 5x − 7x − 4x − 4 przez dwumian x − 2 jest trójmian kwadratowy postaci ax 2 + bx+ c . Oblicz a,b i c .

Zadanie 6
(3 pkt)

Niech lo g29 = c . Wykaż, że lo g354 = 3c+c-2 .

Zadanie 7
(3 pkt)

Dany jest trójkąt ABC . Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D ,E i F tak, że |AD | = |DE | = |EF | = 2|FB | . Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta F BH jest równe S , to pole trójkąta ADG jest równe 3S .

PIC

Zadanie 8
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 cos x− cosx = sin 2x − sin x w przedziale ⟨0 ,2π⟩ .

Zadanie 9
(4 pkt)

Dane są prosta k o równaniu x− 2y = 0 i prosta l o równaniu 2x + y − 1 = 0 . Punkt P leży na prostej o równaniu y = x + 4 . Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l . Oblicz współrzędne punktu P .

Zadanie 10
(4 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 2. Punkt S jest środkiem krawędzi DH (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta CF S .

PIC

Zadanie 11
(4 pkt)

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe 1 15 . Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 (x− 3)[x + (m − 1)x − 6m + 2m )] = 0

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Zadanie 13
(5 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem 3 f(x) = x+xk- dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 . Oblicz wartość k , dla której prosta o równaniu y = −x jest styczna do wykresu funkcji f .

Zadanie 14
(5 pkt)

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD . Bok AD tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku AB , a przekątna BD ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:

7 √ --- cos(∡ADB ) = -, |∡BCD | = 90∘, oraz |AB | > 15. 8

Oblicz długość boku BC tego czworokąta.

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne ABC o przeciwprostokątnej AB i obwodzie równym 4. Niech x = |AC | .

  • Wykaż, że pole P trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem
    x(4 − 2x) P(x) = --4−--x---
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania