/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 5 marca 2016 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ∘ -- ∘ -- 3 4+ 3 9 3 2 jest równa
A) √3-- 6 B) 16-- 3√ 7 C) 5-- 3√6 D) √34+√39 √36

Zadanie 2
(1 pkt)

Dane są liczby 1- a = − 10, b = log 13 81 , c = log 12 32 . Iloczyn abc jest równy
A) − 2 B) − 1 C) − -1 10 D) − 1 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Dany jest prostopadłościan o wymiarach 40 cm × 100 cm × 60 cm . Jeżeli każdą z najdłuższych krawędzi tego prostopadłościanu wydłużymy o 30%, a każdą z najkrótszych krawędzi skrócimy o 20%, to w wyniku obu tych przekształceń objętość tego prostopadłościanu
A) zwiększy się o 8% B) zwiększy się o 4%
C) zmniejszy się o 8% D) zmniejszy się o 4%

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczby √ -- 3 2 + 1,√-3--, -6√-- 2−1 2− 2 są kolejnymi wyrazami ciągu
A) arytmetycznego B) geometrycznego C) rosnącego D) malejącego

Zadanie 5
(1 pkt)

Para liczb x = − 1 i y = − 5 jest rozwiązaniem układu równań { ax + y = − 3 3x − y = 2, gdy
A) a = − 3 B) a = − 2 C) a = 2 D) a = 3

Zadanie 6
(1 pkt)

Rozwiązaniem równania √ -- 2 √ -- 2 (2 x + x − 5x )(3 x + 2x + 5) = 0 jest liczba
A) 1 B) 2 C) 4 D) 9

Zadanie 7
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 2 (a + 4) jest większa od wartości wyrażenia 2 (a + 8a) o
A) 4 B) 16 C) 64 D) 8

Zadanie 8
(1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 4(250 − 7x ) ≤ 3(7x + 100 0)+ 1 6 jest
A) − 288 B) − 42 C) − 40 D) − 41

Zadanie 9
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y = ax + b przechodzącej przez punkty (0 ,2 ) i (6,− 2) .

PIC

Wtedy
A) a = − 32, b = − 2 B) a = − 3, b = 2 C) a = − 2, b = 2 3 D) a = 3, b = − 2

Zadanie 10
(1 pkt)

Przez wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono styczną do okręgu opisanego na tym trójkącie.

PIC

Jeżeli |∡BAC | = 50∘ to miara kąta α jest równa
A) 60∘ B) 5 0∘ C) 45∘ D) 40∘

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = x 2 − x − c . Jeżeli f(− 3) = 4 , to
A) f(1 ) = − 8 B) f(1) = − 18 C) f(1) = 8 D) f (1 ) = 0

Zadanie 12
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .

PIC

Najdłuższy przedział, na którym funkcja f jest rosnąca to
A) ⟨− 3,− 2⟩ B) ⟨0,4⟩ C) ⟨2,4⟩ D) ⟨1,4⟩

Zadanie 13
(1 pkt)

Wykres funkcji liniowej y = − 5x+ 7 przecina pionową prostą przechodzącą przez punkt (4,9) w punkcie o współrzędnych
A) (4,− 13) B) ( 2 ) − 5,9 C) (4,27) D) ( ) − 16,9 5

Zadanie 14
(1 pkt)

W ciągu geometrycznym (an) dane są: a4 = 12 i √ -- a7 = − 24 2 . Iloraz ciągu (an) jest równy
A) ∘ --√--- 32 2 B) √ -- − 2 C) -- − 2√ 2 D) -- √ 2

Zadanie 15
(1 pkt)

Jeżeli 0∘ < α < 90∘ oraz tg α = 8 sinα (1− sin2 α) , to
A) cosα = 1 4 B) co sα = 1 C) √- co sα = 22- D) cos α = 12

Zadanie 16
(1 pkt)

Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku 2:4:9. Największy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę
A) 24∘ B) 48∘ C) ∘ 10 8 D) ∘ 12 0

Zadanie 17
(1 pkt)

Kąt α jest najmniejszym z kątów trójkąta prostokątnego o bokach długości √ -- 2 2,1,3 . Wtedy
A) √2- cosα = 4 B) 1 cos α = 3 C) √ - co sα = 2-2- 3 D) √ - cos α = 3--2 4

Zadanie 18
(1 pkt)

W kwadracie ABCD połączono środki boków otrzymując kwadrat PQRS .

PIC

Kwadrat ABCD jest podobny do kwadratu PQRS w skali
A) √ -- 2 B) 2 C) 1 2 D) √ 2 -2-

Zadanie 19
(1 pkt)

Proste o równaniach: 2 y = − 4kx− k − 2 oraz 2 2 y = 2k x + k + 2 są prostopadłe dla
A) 1 k = − 2 B) 1 k = 2 C) k = 1 D) k = −2

Zadanie 20
(1 pkt)

Trójkąt prostokątny t obrócono względem dłuższej przyprostokątnej i otrzymano stożek o polu powierzchni bocznej 50π i kącie rozwarcia 60∘ . Obwód trójkąta t jest równy
A) √ -- 5 3 + 15 B) √ -- 10 3 + 15 C) √ -- 10 3 + 30 D) √ -- 5 3 + 30

Zadanie 21
(1 pkt)

W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to mężczyzna, jest równe
A) -1 18 B) 18- 33 C) 15 18 D) -1 33

Zadanie 22
(1 pkt)

Liczba 0,2 jest jednym z przybliżeń liczby 2 9 . Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy
A) 1% B) 10% C) 2,2% D) 22%

Zadanie 23
(1 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość, a pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe √ -- 4 + 4 3 . Wobec tego długość wysokości tego ostrosłupa jest równa
A) √ -- 6 B) 2 C) √ -- 3 D) √ -- 2

Zadania otwarte

Zadanie 24
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 3x 2 + 1 2x ≥ x + 4 .

Zadanie 25
(2 pkt)

Rozwiąż równanie (x3 − 5)4 − (2x 3 + 3)4 = 0 .

Zadanie 26
(2 pkt)

Mamy trzy pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, w drugim – 4 kule ponumerowane kolejnymi liczbami od 1 do 4, a w trzecim – 5 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 5. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę trzycyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą setek, numer kuli wylosowanej z drugiego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z trzeciego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 4.

Zadanie 27
(2 pkt)

Dany jest kwadrat ABCD . Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E . Punkty L i N są środkami odcinków – odpowiednio – BE i ED . Punkty K i M leżą na przekątnej AC tak, że |AK | = 14|AE | i |CM | = 14|CE | (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 3:8.

PIC

Zadanie 28
(2 pkt)

Na średnicy AB półokręgu o3 wybrano punkt C i na odcinkach AC i CB jako na średnicach skonstruowano półokręgi o1 i o2 . Odcinek CD jest odcinkiem wspólnej stycznej półokręgów o1 i o2 . Oblicz długość odcinka CD jeżeli promienie półokręgów o 1 i o 2 są odpowiednio równe r 1 i r 2 .

PIC

Zadanie 29
(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x ,y prawdziwa jest nierówność ( ) (x + y) 1+ 1 ≥ 4 x y .

Zadanie 30
(2 pkt)

Dany jest dodatni ułamek nieskracalny. Jeżeli dodamy do licznika ułamka 20% mianownika, a następnie od mianownika odejmiemy 20% zmienionego licznika, to otrzymamy 1,25. Jeżeli natomiast do mianownika danego ułamka dodamy 25% licznika, a od licznika odejmiemy 1, to otrzymamy 0,5. Wyznacz ten ułamek.

Zadanie 31
(4 pkt)

Boki AB i CA trójkąta ABC są zawarte w prostych y + 12 = 7x i 2y + x = 6 , a jego dwa wierzchołki mają współrzędne B = (1 ,− 5 ) i C = (10,− 2) . Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie 32
(5 pkt)

W nieskończonym rosnącym ciągu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich, określonym dla n ≥ 1 , stosunek średniej geometrycznej trzech pierwszych wyrazów do średniej arytmetycznej tych wyrazów jest równy 15 31 , a suma czterech pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa 468. Wyrazy a1 i a3 ciągu (an) , są odpowiednio pierwszym i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego (bn) . Oblicz sumę 10 początkowych wyrazów ciągu (bn) .
Uwaga: średnia geometryczna liczb a ,b,c jest równa 3√ ---- abc .

Zadanie 33
(4 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa √ -- 6 3 , a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt ∘ 30 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania