/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 25 lutego 2017 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba 15! jest podzielna przez
A) 91 B) 71 C) 51 D) 41

Zadanie 2

(1 pkt)

Liczba co s 52π4-cos 51π2 sin 52π4 jest równa
A) √-3 4 B) 1 8 C) 1 − 2 D) √ - − --3 8

Zadanie 3

(1 pkt)

Granica lim -1-+-48-−-5- x→− 3 x+3 x3 x−3
A) jest równa 0 B) jest równa + ∞ C) jest równa − ∞ D) nie istnieje

Zadanie 4

(1 pkt)

Funkcja f (x) = 2x−1- x2+3 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej . Pochodna tej funkcji jest określona wzorem
A) 2 f′(x) = 6x−2-2x+26- (x +3) B) 2 f′(x) = −2x2+2x+26- (x +3) C) ′ −2x2−2x+6- f (x) = (x2+3)2 D) f ′(x) = 2x2−-2x−6- (x2+ 3)2

Zadanie 5

(1 pkt)

O zdarzeniach losowych A , B wiadomo, że: P(A |B) = 0,25, P(B ) = 0,4 i P(A ∪ B) = 0 ,5 . Wtedy prawdopodobieństwo P (A) jest równe
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4

Zadania otwarte

Zadanie 6

(2 pkt)

Trzy koła o promieniu 1 są parami styczne zewnętrznie. Oblicz pole obszaru zawartego między tymi kołami.

Zadanie 7

(2 pkt)

Liczby i są rozwiązaniami równania x2 − 201 7x+ 2 = 0 . Oblicz wartość wyrażenia

---a-- ---b-- log 2 + a lo g2b + log 2 + blog 2a. a b

Zadanie 8

(3 pkt)

Ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których każda cyfra jest większa od 4 i dokładnie 3 spośród cyfr takiej liczby są równe 9?

Zadanie 9

(2 pkt)

Dany jest okrąg o 1 o promieniu . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy , wewnątrz okręgu znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę długości wszystkich skonstruowanych w ten sposób okręgów.

Zadanie 10

(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a ⁄= 0 i b ⁄= 0 , to 6 6 a4 + b 4 ≤ ab2 + ba2 .

Zadanie 11

(4 pkt)

Rozwiąż nierówność | 2 | ||x+2-3x+2|| ≤ 1 x −x− 6 .

Zadanie 12

(3 pkt)

Funkcja określona jest wzorem f(x) = x4 − 4x3 + 3x2 − 9x + 7 dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji , które są równoległe do prostej o równaniu 9x − y + 7 = 0 .

Zadanie 13

(4 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości: |BC | = 3 i |AC | = 4 . Na boku tego trójkąta wybrano taki punkt , że ∘ |∡ACD | = 60 . Oblicz długość odcinka .

Zadanie 14

(4 pkt)

Rozwiąż nierówność √ - 2--3c√osx−3 ≥ 0 1− 3tgx w przedziale ⟨π,2 π⟩ .

Zadanie 15

(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD , w którym |∡DAB | = 60∘ . Krawędź jest wysokością ostrosłupa oraz jej długość jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany SBC do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 16

(6 pkt)

Punkty A = (− 5,2) i B = (4,− 3) są wierzchołkami trójkąta ABC , a wysokości opuszczone z wierzchołków i tego trójkąta zawierają się odpowiednio w prostych o równaniach x+ 4y − 3 = 0 oraz 12x + 7y − 27 = 0 . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok .

Zadanie 17

(7 pkt)

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji 6x2−-72x+-210- f(x) = x2− 12x+ 36 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie i odpowiednio w punktach i , a punkt jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami i .