/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 26 marca 2022 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

W trakcie testów drogowych samochód numer 1 poruszał się ze stałą prędkością v1 i pokonał trasę o 10% dłuższą, niż samochód nr 2, który poruszał się ze stałą prędkością v2 . Czas w jakim samochód nr 2 pokonał swoją trasę był o 20% krótszy, niż czas w jakim swoją trasę pokonał samochód nr 1. Stosunek prędkości v1 v2 jest równy
A) 110 B) 35 C) 2225 D) 4 5

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba log15 27+ 3log15 5 jest równa
A) log -27- 15125 B) 3 C) 2 D) 81 log 15 25

Zadanie 3
(1 pkt)

Rozważamy przedziały liczbowe: (− ∞ ,13⟩ i (− 5,+ ∞ ) . Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?
A) 17 B) 16 C) 18 D) 19

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba ( 3 7) 45 54 ⋅58 jest równa
A) 51130 B) 51 C) 5183 D) 21 540

Zadanie 5
(1 pkt)

Wyrażenie (a − b + c+ d)(a + b− c+ d) może być zapisane w postaci
A) (a + d)2 − (c+ b)2 B) (a− d)2 − (c− b)2
C) (a+ d)2 − (c− b)2 D) (a − d − c+ b)2

Zadanie 6
(1 pkt)

Zbiór rozwiązań nierówności 9 − 3−-5x-≥ 2−-3x-− 2x 9 4 jest taki sam jak zbiór rozwiązań nierówności
A) 3x−2 5x−3 9 + --4--≥ --9--− 2x B) 3x−2 3− 5x 2x − -4---≥ --9--− 9
C) 9 + 2−-3x-≥ 5x−3-− 2x 4 9 D) 3x−-2- 3−-5x- 2x + 4 ≥ 9 − 9

Zadanie 7
(1 pkt)

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze ⟨− 6,5⟩ .

PIC

Funkcja g jest określona wzorem g(x ) = −f (−x ) dla x ∈ ⟨− 5,6⟩ . Wskaż zdanie prawdziwe.
A) Zbiór wartości funkcji g nie zawiera liczb dodatnich.
B) Punkt P = (3,3) należy do wykresów funkcji f i g .
C) Równanie f(x) = g (x) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
D) Jest tylko jedna liczba x spełniająca nierówność g(x) ≥ f (x) .

Zadanie 8
(1 pkt)

Równanie x5−-8x3+-16x 3x4− 48 = 0
A) ma dwa rozwiązania B) ma trzy rozwiązania
C) nie ma rozwiązań D) ma jedno rozwiązanie

Zadanie 9
(1 pkt)

Liczba dzielników naturalnych liczby 2 57 jest równa
A) 8 B) 9 C) 16 D) 4

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = −3 (2x+ 4)(5x − 3) . Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , ma współrzędną x równą
A) -7 − 10 B) 7 − 5 C) − 12 D) 135

Zadanie 11
(1 pkt)

Do wykresu funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem x f(x) = 2 − 3 należy punkt o współrzędnych
A) (− 1,− 5) B) (0 ,−3 ) C) (2,1) D) (1,1)

Zadanie 12
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i tg α = 2 3 . Wtedy
A) √ -- sin α = 32163- B) √ -- sin α = -1133 C) √ -- sin α = 2--13 13 D) √ -- sin α = 3-13- 13

Zadanie 13
(1 pkt)

Dane są ciągi (an) , (bn) , (cn) , (dn) , określone dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wzorami: an = 18n + 13 , 2 bn = 3n − 92 , 2 cn = n + 11n − 4 , n+167 dn = n . Liczba 206 jest dziesiątym wyrazem ciągu
A) (an) B) (bn ) C) (c ) n D) (d ) n

Zadanie 14
(1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do dziedziny funkcji √ ------------------ f (x) = − 6x2 − 17x + 289 jest
A) − 9 B) − 8 C) − 6 D) − 5

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg arytmetyczny (an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Piąty wyraz tego ciągu jest o 12 większy od trzeciego wyrazu. Wtedy różnica a 17 − a12 jest równa
A) 60 B) 6 C) 30 D) 24

Zadanie 16
(1 pkt)

W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , pierwsze trzy wyrazy są długościami boków trójkąta prostokątnego. Zatem
A) a + a = a 1 2 3 B) a + a = a 1 3 5 C) a1 + a2 = a4 D) 2 2 2 a1 + a 3 = a2

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkty K i L są punktami styczności okręgu wpisanego w trapez równoramienny ABCD z bokami AD i AB . Kąt ostry tego trapezu ma miarę ∘ 70 (zobacz rysunek).

PIC

Miara kąta DKL jest równa
A) 135 ∘ B) 125∘ C) 11 0∘ D) 130 ∘

Zadanie 18
(1 pkt)

Okrąg o środku w punkcie O jest wpisany w trójkąt ABC . Wiadomo, że |AB | = |AC | i |∡BOC | = 1 10∘ (zobacz rysunek).

PIC

Miara kąta BAC jest równa
A) 20∘ B) 3 0∘ C) 40∘ D) 50∘

Zadanie 19
(1 pkt)

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe √ - 9--3 25 . Obwód tego trójkąta jest równy
A) 4 B) 2 C) 4 3 D) 18 5

Zadanie 20
(1 pkt)

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A , B oraz C . Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy AOB ma miarę 84∘ (zobacz rysunek).

PIC

Miara kąta OBC jest równa
A) 52∘ B) 4 5∘ C) 48∘ D) 42∘

Zadanie 21
(1 pkt)

Prosta przechodząca przez punkty (− 3,− 2) oraz (3,7) ma równanie
A) 5 y = 6x + 3 B) 3 5 y = 2x − 2 C) y = x + 1 D) y = 32x+ 52

Zadanie 22
(1 pkt)

Punkty B = (5,− 1) i D = (− 7,3) są wierzchołkami rombu ABCD . Współczynnik kierunkowy przekątnej AC tego rombu jest równy
A) − 1 3 B) 3 C) − 3 D) 1 3

Zadanie 23
(1 pkt)

W każdym n –kącie wypukłym (n ≥ 3 ) liczba przekątnych jest równa n(n− 3) --2--- . Jeżeli graniastosłup prosty ma m ≥ 6 wierzchołków, to liczba wszystkich przekątnych jego podstaw i ścian bocznych jest równa
A) m-(m−2) 4 B) m(m−-6) 8 C) m-(m-−6) 4 D) m(m+-2) 4

Zadanie 24
(1 pkt)

Przeciwległe wierzchołki kwadratu mają współrzędne A = (− 5,− 6),C = (2,5) . Promień okręgu wpisanego w ten kwadrat jest równy
A) √ --- 85 B) 1√ --- 2 85 C) √ ---- 17 0 D) √ ---- 1 1 70 2

Zadanie 25
(1 pkt)

Przekątna sześcianu jest równa 9. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa
A) 243 B) 81√ 3- C) √ -- 54 2 D) √ -- 27 3

Zadanie 26
(1 pkt)

Rzucając wielokrotnie symetryczną kostką do gry otrzymano następujące liczby oczek

Liczba oczek 123456
Liczba wyników143543

Średnia liczba oczek otrzymana w jednym rzucie jest równa.
A) 4 B) 3,8 C) 3,5 D) 20 6

Zadanie 27
(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, mniejszych od 600, w których każda cyfra należy do zbioru {1,2 ,3 ,6,8,9} i żadna cyfra się nie powtarza, jest
A) 108 B) 60 C) 40 D) 299

Zadanie 28
(1 pkt)

W pudełku znajdują się płytki z literami i cyframi. Na każdej płytce jest wydrukowana albo jedna wielka litera, albo jedna mała litera, albo jedna cyfra. Płytek z wielkimi literami jest o 25% mniej niż płytek z cyframi, a płytek z małymi literami jest o 40% więcej niż płytek z wielkimi literami. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z cyfrą jest równe
A) 0,85 B) 0,1 C) -5 14 D) 5 9

Zadania otwarte

Zadanie 29
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność: 3(x + 0 ,2)(x− 0,1) ≥ x2 − 0,04 .

Zadanie 30
(2 pkt)

Udowodnij, że liczba 13 20 + 1321 + 1322 + 1323 jest podzielna przez 35.

Zadanie 31
(2 pkt)

Rozwiąż równanie

4x + 7 4x 2 + 4x+ 1 ------- = -----2-------. x − 2 4x − 1

Zadanie 32
(2 pkt)

Prosta o równaniu 3y = 2x − 1 jest osią symetrii wykresu funkcji liniowej y = f(x ) . Ponadto f (−4 )+ f (4) = 7 . Wyznacz wzór funkcji f .

Zadanie 33
(2 pkt)

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD . Przekątne AC i BD tego trapezu przecinają się w punkcie S (zobacz rysunek) tak, że |AS| 4 |SC| = 3 . Pole trójkąta ABS jest równe 24. Oblicz pole trójkąta CDS .

PIC

Zadanie 34
(2 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, których cyfra tysięcy i cyfra setek należą do zbioru { 3,4,5,6,7,8} , a cyfra dziesiątek i cyfra jedności należą do zbioru {0 ,1,2,3,4} , losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę czterocyfrową, która jest podzielna przez 4.

Zadanie 35
(5 pkt)

Punkty A = (7,− 15) i B = (− 2,12) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Wierzchołek C leży na prostej y = 5 . Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania