/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 2 czerwca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

Dane są liczby

log245 log-32023- a = 4 oraz b = log 2023 9

Oblicz a− b .

Zadanie 2
(3 pkt)

Wśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz n .

Zadanie 3
(3 pkt)

Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych.

Zadanie 4
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 2x3 − 4x2 + 9x dla każdego x ∈ R . Punkt P = (x0,18) należy do wykresu funkcji f . Oblicz x 0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P .

Zadanie 5
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność

2 16 a + ---≥ 12. a

Zadanie 6
(3 pkt)

Dany jest okrąg O . Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q . Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D , która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Zadanie 7
(4 pkt)

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2x − -6x---+ ---18x---− --54x---+ ... x − 1 (x − 1 )2 (x− 1)3

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 15 2 .

Zadanie 8
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin 5x + cos x = 0 w zbiorze [− π-, π] 2 2 .

Zadanie 9
(4 pkt)

W okrąg o równaniu (x − 1)2 + (y − 2)2 = 2 5 wpisano trójkąt ABC . Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x − 3y + 2 = 0 . Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB tak, że |AD | = 4⋅|DB | . Oblicz pole trójkąta ABC .

Zadanie 10
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

mx 2 − (m + 1 )x− 2m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 oraz x2 , spełniające warunki:

1 1 x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz -2+ -2-< 1. x1 x2

Zadanie 11
(5 pkt)

Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(2a ,2b ,c+ 1 )

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek c− b = 6 . Oblicz a ,b oraz c .

Zadanie 12
(5 pkt)

Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że |BE | = 3⋅|DE | oraz |BD | = 2⋅ |AE | .

ZINFO-FIGURE

Oblicz długości boków czworokąta ABCD .

Zadanie 13
(6 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEF GH , w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EF GH ma długość d (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

  • Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V (h) .

  • Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania