/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 20 marca 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian W określony wzorem 2021 2020 W (x ) = x + 3x + 2x − 6
A) jest podzielny przez (x − 1) i z dzielenia przez (x+ 1) daje resztę równą − 6 .
B) jest podzielny przez (x+ 1) i z dzielenia przez (x − 1 ) daje resztę równą − 6 .
C) jest podzielny przez (x − 1) i jest podzielny przez (x + 1) .
D) nie jest podzielny ani przez (x− 1) , ani przez (x + 1) .

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba log √-1 2 2 jest równa
A) ---1-- log√34 B) ---2---- 2+log√ 34 C) ---4-- log√32 D) 4+ --8--- log√34

Zadanie 3
(1 pkt)

Proste y = m 1 i y = m 2 , gdzie m 1 ⁄= m 2 są styczne do wykresu funkcji 3 2 f(x) = x − 5x + 6x− 7 w punktach A = (x 1,y1) i B = (x 2,y 2) . Zatem
A) x1x 2 = 2 B) x1 + x2 = − 10 3 C) x1x2 = 6 D) x1 + x2 = 10

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba x jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie -1-- 2√ 5 . Liczba y jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym 1 i ilorazie ( -1-) − 2√ 5 . Wynika stąd, że liczba x + y jest równa
A) √ - 4195 B) 4109 C) √ - 2195- D) 10 19

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

W trójkącie ABC długość boku CB stanowi 4 3 długości boku AC , a kąt BAC ma miarę ∘ 135 . Oblicz cosinus kąta ABC .

Zadanie 6
(3 pkt)

O zdarzeniach A i B wiadomo, że P(B ) = 0,6 ; ′ P(A ∪ B ) = 0,75 ; ′ P (A ∖ B ) = 0,25 . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A ∪ B .

Zadanie 7
(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x ,y prawdziwa jest nierówność

4 2 x − 8xy + 4y + 4 > 0.

Zadanie 8
(3 pkt)

Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny, przy czym suma pierwszej i czwartej jest równa 52, a iloczyn drugiej i trzeciej jest równy − 1 08 . Wyznacz te liczby.

Zadanie 9
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 10 sin2x − 3 cos2x = 24 cosx − 3 dla x ∈ ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 10
(4 pkt)

Reszty z dzielenia wielomianu W (x) = x4 − px2 − 4x + q przez dwumiany (1− 2x) i (3x − 1) są odpowiednio równe − 916 i 1801 . Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez dwumian (3− 2x) .

Zadanie 11
(5 pkt)

Oblicz, ile jest dwunastocyfrowych liczb naturalnych, których suma cyfr jest równa 8 i jednocześnie w ich zapisie nie występują cyfry 1 i 4.

Zadanie 12
(5 pkt)

Na bokach trójkąta ABC zbudowano kwadraty ABKL , BCMN i CAOP (zobacz rysunek).

PIC

Kąty BAC i ABC są ostre oraz suma ich tangensów jest równa 52 . Wykaż, że jeżeli pole kwadratu ABKL jest pięć razy większe od pola trójkąta ABC , to suma pól kwadratów BCMN i CAOP też jest pięć razy większa od pola trójkąta ABC .

Zadanie 13
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD . Przekątna AC tego trapezu ma długość 4√ 6- , jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30∘ . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 9. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD .

Zadanie 14
(5 pkt)

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y = 1x + m 2 , 1 y = 2x + 2m , y = −x − 1 , y = −x + m − 3 , gdzie m ⁄= 0 i m ⁄= 2 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których iloczyn długości dwóch wysokości tego równoległoboku, które nie są równoległe, jest równy √ -- --10 15 .

Zadanie 15
(7 pkt)

Firma logistyczna planuje produkcję pojemników w kształcie graniastosłupa prostego o objętości 3 m 3 i podstawie będącej prostokątem, w którym jeden z boków jest 4 razy dłuższy od drugiego. Koszt materiału potrzebnego do produkcji ścian bocznych tego pojemnika wynosi 40 zł za m 2 , a koszt materiału potrzebnego do produkcji jego górnej i dolnej podstawy wynosi 60 zł za m 2 . Oblicz jakie powinny być wymiary tego pojemnika, aby koszt jego produkcji był najmniejszy możliwy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania