/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 21 marca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dla której z podanych funkcji granica prawostronna lim f(x ) x→ 3+ jest skończona?
A) f(x ) = log(x − 3) B) f (x) = xx2+−39 C) x2−-9 f(x) = x− 3 D) --1- f (x) = x + x− 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Układ równań { 2 2 (x+ 2) + (y − 1 ) = 25 (x− 1)2 + (y + 2 )2 = a z niewiadomymi x,y i parametrem dodatnim a ma dwa rozwiązania, gdy
A) √ -- √ -- a > 5 + 3 2 B) √ -- √ -- | a− 5| < 3 2 C) √ -- √ -- a + 3 2 < 5 D) -- √ -- |√ a − 5| > 3 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Niech A i B będą takim zdarzeniami losowymi, że P(B ) = 0,6 i P (B ∖A ) = 0 ,3 . Wtedy prawdopodobieństwo P (A|B ) jest równe
A) 0,3 B) 0,9 C) 0,5 D) 0,18

Zadanie 4
(1 pkt)

Każda liczba x należąca do przedziału otwartego ( ) x ∈ π4, π2 spełnia nierówność
A) sin x > tg x B) tg x > co sx C) co sx > tg x D) co sx > sin x

Zadanie 5
(1 pkt)

Ile miejsc zerowych ma funkcja 2 f (x) = |4− x |− 4 ?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz ( ) √5--- ∘ √4-- lo g2 16 − log2 log2 2 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę ciągu (3− 5n− 2n4)13 lim (5−4n5)5(2n3+-8)9 n→+ ∞ .

Zadanie 8
(2 pkt)

Dane są liczby a,b takie, że a + 3b = − 5 i ab = − 1 . Oblicz a3 + 2 7b3 .

Zadanie 9
(2 pkt)

Wyznacz równanie okręgu o środku A = (− 3,4) , stycznego do prostej o równaniu y = 3x + 1 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian 2 3 (x − 2x) jest równa 5 2 2x − 3x + 7 . Oblicz resztę z dzielenia wielomianu ′ W (x) przez dwumian (x− 2) .

Zadanie 11
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie argumenty x , w których funkcja 6 5 4 3 f (x) = 15x + 3x − 90x − 20x ma ekstrema lokalne.

Zadanie 12
(3 pkt)

Dla jakich wartości parametru m prosta y = 5x + m jest styczna do wykresu funkcji x+3 y = 2−x- ?

Zadanie 13
(3 pkt)

Zbiór A ma tę własność, że poprzez usuwanie z niego jednego lub dwóch elementów można utworzyć 190 różnych zbiorów. Ile elementów ma zbiór A ?

Zadanie 14
(4 pkt)

Na trapezie opisano okrąg o średnicy długości 25 cm. Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu. Wiedząc, że przekątna tego trapezu ma długość 20 cm, oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 15
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x , spełniające równanie

cosx + sin 3x = sin x+ cos3x .

Zadanie 16
(5 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a ) n , który zawiera zarówno wyrazy dodatnie, jak i ujemne, w którym a1 = 2 , oraz drugi, czwarty i piąty wyraz są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa sumie kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zadanie 17
(6 pkt)

Czworokąt ABCD jest trapezem o podstawach AB i CD . Wykaż że

|AC |2 + |BD |2 = |AD |2 + |BC |2 + 2|AB |⋅|DC |.

Zadanie 18
(6 pkt)

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 4M , a jedna z jego ścian na pole powierzchni dwa razy większe od innej ściany tego prostopadłościanu. Oblicz jaka jest powierzchnia całkowita tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość jest największa możliwa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania