/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 16 grudnia 2014 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 0,6 jest jednym z przybliżeń liczby 5 8 . Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy
A) 0,025% B) 2,5% C) 0,04% D) 4%

Zadanie 2
(1 pkt)

Dany jest okrąg o środku S = (− 6,− 8) i promieniu 2014. Obrazem tego okręgu w symetrii osiowej względem osi Oy jest okrąg o środku w punkcie S 1 . Odległość między punktami S i S1 jest równa
A) 12 B) 16 C) 2014 D) 4028

Zadanie 3
(1 pkt)

Rozwiązaniami równania 3 (x − 8)(x − 5 )(2x+ 1) = 0 są liczby
A) − 8; − 5; 1 B) − 1; 5; 8 C) − 1; 2; 5 2 D) − 1; 5; 8 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Cena towaru została podwyższona o 30%, a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o 10%. W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o
A) 15% B) 20% C) 40% D) 43%

Zadanie 5
(1 pkt)

Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorami f (x) = − 5x + 1 oraz g(x ) = 5x . Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji jest równa
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0

Zadanie 6
(1 pkt)

Wyrażenie (3x + 1 + y)2 jest równe
A) 2 2 3x + y + 1
B) 2 2 9x + 6x + y + 1
C) 3x2 + y2 + 6xy + 6x + 1
D) 9x 2 + y2 + 6xy + 6x + 2y + 1

Zadanie 7
(1 pkt)

Połowa sumy 428 + 428 + 428 + 4 28 jest równa
A) 30 2 B) 57 2 C) 63 2 D) 112 2

Zadanie 8
(1 pkt)

Równania y = − 3x + 5 4 4 oraz 4 y = − 3 opisują dwie proste
A) przecinające się pod kątem o mierze 90∘ .
B) pokrywające się
C) przecinające się pod kątem różnym od 9 0∘ .
D) równoległe i różne.

Zadanie 9
(1 pkt)

Na płaszczyźnie dane są punkty: √ --√ -- A = ( 2, 6) , B = (0,0) i √ -- C = ( 2,0) . Kąt BAC jest równy
A) 30∘ B) 4 5∘ C) 60∘ D) 75∘

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja f , określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie x ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji f zawiera dokładnie
A) 5 elementów. B) 6 elementów. C) 9 elementów. D) 10 elementów.

Zadanie 11
(1 pkt)

Ekipa złożona z 25 pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu 156 dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu 100 dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o
A) 14 osób więcej. B) 17 osób więcej. C) 25 osób więcej. D) 39 osób więcej.

Zadanie 12
(1 pkt)

Z sześcianu ABCDEF GH o krawędzi długości a odcięto ostrosłup ABDE (zobacz rysunek).

PIC

Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?
A) 2 razy. B) 3 razy. C) 4 razy. D) 5 razy.

Zadanie 13
(1 pkt)

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie A = (2,4) , która jest wykresem funkcji kwadratowej f .

PIC

Funkcja f może być opisana wzorem
A) y = (x − 2)2 + 4 B) y = (x + 2)2 + 4 C) y = − (x − 2)2 + 4 D) 2 y = − (x+ 2) + 4

Zadanie 14
(1 pkt)

Punkty √ -- √ -- A = (− 6 − 2 2,4 − 2 2 ) , √ -- √ -- B = (2+ 4 2,− 6 2) , √ -- √ -- C = (2 + 6 2,6 − 2 2) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD . Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie
A) S = (− 1+ 4 √ 2,5− 5√ 2)
B) √ -- √ -- S = (− 2 + 2,2 − 4 2)
C) √ -- √ -- S = (2 + 5 2,3− 4 2)
D) √ -- √ -- S = (− 2+ 2 2,5− 2 2)

Zadanie 15
(1 pkt)

Liczba sin 150∘ jest równa liczbie
A) cos60∘ B) cos 120∘ C) tg 120∘ D) tg 60∘

Zadanie 16
(1 pkt)

Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości 1 m, a bok każdego z następnych trójkątów jest o 10 cm dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości 5,9 m. Ile trójkątów przedstawia mural?
A) 49 B) 50 C) 59 D) 60

Zadanie 17
(1 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości 20 tworzy z podstawą kąt 67,5∘ . Pole tego trójkąta jest równe
A) 10 0√ 3- B) 10 0√ 2- C) √ -- 200 3 D) √ -- 2 00 2

Zadanie 18
(1 pkt)

Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów.

PIC

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi a jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi b . Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi a jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi b ?
A) √ -- 2 B) 2 C) √ -- 2 2 D) 4

Zadanie 19
(1 pkt)

Na okręgu o środku S leżą punkty A ,B,C i D . Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą AC jest równy 2 1∘ (zobacz rysunek).

PIC

Kąt α między cięciwami AD i CD jest równy
A) 21∘ B) 4 2∘ C) 48∘ D) 69∘

Zadanie 20
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x jest równa 6. Mediana tego zestawu jest równa
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

Zadanie 21
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , w którym √ -- a1 = − 2 , a2 = 2 , √ -- a3 = −2 2 . Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli a 10 , jest równy
A) 32 B) − 32 C) √ -- 16 2 D) √ -- − 16 2

Zadanie 22
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem 24− 4n an = --n-- dla n ≥ 1 . Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4

Zadanie 23
(1 pkt)

Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech pi oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia i oczek w i -tym rzucie. Wtedy
A) p 6 = 1 B) p 6 = 16 C) p3 = 0 D) p 3 = 1 3

Zadanie 24
(1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia równanie 4x = 9 .
A) log 9 − log 4 B) log2 log3 C) 2 log 92 D) 2log4 3

Zadania otwarte

Zadanie 25
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność: − x2 − 4x + 21 < 0 .

Zadanie 26
(2 pkt)

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x+4-= 2x + 1 x− 2 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze 100% pierwiastka pozostało 50% tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po x okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem ( ) y = 1 x 2 .

W przypadku izotopu jodu 131I czas połowicznego rozpadu jest równy 8 dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z 1 g 131I nie więcej niż 0,125 g tego pierwiastka.

Zadanie 28
(2 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Zadanie 29
(2 pkt)

Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości A do miejscowości C przez miejscowość B , która znajduje się w połowie drogi z A do C . Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z A do B była równa 40 km/h, a na trasie z B do C – 60 km/h. Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z A do C .

Zadanie 30
(4 pkt)

Zakupiono 16 biletów do teatru, w tym 10 biletów na miejsca od 1. do 10. w pierwszym rzędzie i 6 biletów na miejsca od 11. do 16. w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że 2 wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?

Zadanie 31
(4 pkt)

W trapezie ABCD (AB ∥ DC ) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że |AO | : |OC | = 5 : 1 . Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72.

PIC

Zadanie 32
(4 pkt)

Punkty A = (3,3) i B = (9,1) są wierzchołkami trójkąta ABC , a punkt M = (1,6) jest środkiem boku AC . Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej AB z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka C .

Zadanie 33
(4 pkt)

Tworząca stożka ma długość 17, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania