/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom rozszerzony 4 marca 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(3 pkt)

Dane są liczby a = log 23 oraz b = log 37 . Wyraź log4 49 za pomocą a oraz b .

Zadanie 2
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = x2+3 x− 1 dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P = (− 3,− 3) .

Zadanie 3
(4 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an ) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | ||S-−-Sn-|| | S | < 0,001, n

gdzie S n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a ) n .

Zadanie 4
(5 pkt)

Dane jest równanie

2 (x − 6) ⋅[(m − 2)x − 4(m + 3)x + m + 1] = 0

z niewiadomą x i parametrem m ∈ R . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Zadanie 5
(3 pkt)

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą podzielną przez 36.

Informacja do zadań 6.1 i 6.2

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek).

PIC

Funkcje f oraz g są określone wzorami 2 f (x) = x oraz 1( 1)2 g(x) = − 2 x− 2 + 4 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (− 1,1) .

Zadanie 6.1
(2 pkt)

Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji g . Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1- 4 1-3 13- 2 39- 593- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x+ 6 4 ,

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Zadanie 6.2
(6 pkt)

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu K , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu R leżącego na wykresie funkcji g od punktu P wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 4 1 3 13 2 39 593 |PR | = 4x − 2x − -8-x + -8-x+ 6-4-,

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Zadanie 7
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

sin (3x) = 2 sin x

w zbiorze [0,π ] .

Zadanie 8
(4 pkt)

Dany jest trapez równoramienny ABCD o obwodzie l i podstawach AB oraz CD takich, że |AB | > |CD | . Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna AC trapezu ma długość d (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że promień R okręgu opisanego na trapezie ABCD jest równy -√--dl---- 2 16d2−l2 .

Zadanie 9
(6 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt A = (9,12) jest wierzchołkiem trójkąta ABC . Prosta k o równaniu y = 1x 2 zawiera dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Okrąg O o równaniu 2 2 (x − 8 ) + (y − 4) = 16 jest wpisany w ten trójkąt. Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki B i C tego trójkąta z okręgiem O .

Zadanie 10
(6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD i polu powierzchni bocznej równym P . Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka S ma miarę 2 α . Objętość tego ostrosłupa jest równa ∘ -------------------- k⋅P 3 ⋅sin αco s(2α) , gdzie k jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik k .

Zadanie 11
(4 pkt)

Egzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej 11 zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź. Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania