/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 18 grudnia 2014 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian 3 2 W (x) = 2x − bx − 1 jest podzielny przez dwumian x + 1 . Wynika stąd, że
A) b = − 3 B) b = − 1 C) b = 1 D) b = 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Okrąg o równaniu (x + 2)2 + (y − 2)2 = 4 ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu
A) x = 0 B) y = 0 C) y = −x D) y = x

Zadanie 3
(1 pkt)

Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = x5 + 5x− 1
A) ma więcej niż dwa minima lokalne.
B) ma dokładnie dwa minima lokalne.
C) ma dokładnie jedno minimum lokalne.
D) nie ma minimum lokalnego.

Zadanie 4
(1 pkt)

Każda liczba x należąca do przedziału otwartego ( π-3π-) x ∈ 2, 4 spełnia nierówność
A) tg x > sin x B) co sx > sin x C) co sx > tg x D) tg x > cos x

Zadanie 5
(1 pkt)

Funkcja f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem x−2 f(x ) = 3 + 3 . Prosta l ma równanie y = 3,3 . Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji f i prosta l ?
A) Zero. B) Jeden. C) Dwa. D) Nieskończenie wiele.

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Dane są liczby a,b takie, że a − b = 4 i ab = 7 . Oblicz 3 3 a b + ab .

Zadanie 7
(2 pkt)

Długości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Zadanie 8
(2 pkt)

Oblicz granicę ( n2 (n+2)2) lim n+-2 − n+-444- n→+ ∞ .

Zadanie 9
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 2 f(x ) = xx−4- dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 4 . Oblicz pochodną funkcji f w punkcie x = 1 2 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = x4 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f , która jest równoległa do prostej y = 4x+ 7 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x , spełniające równanie sin 5x − sin x = 0 .

Zadanie 12
(3 pkt)

Niech Pn oznacza pole koła o promieniu -1 2n , dla n ≥ 1 . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (Pn ) .

Zadanie 13
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a > b ≥ 1 , to --a- -b-- 2+a3 < 2+b 3 .

Zadanie 14
(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli α,β,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i sin2 α+ sin 2β < sin2 γ , to co sγ < 0 .

Zadanie 15
(3 pkt)

Punkt E jest środkiem boku BC prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt F leży na boku CD tego prostokąta oraz ∡AEF = 90 . Udowodnij, że ∡BAE = ∡EAF .

Zadanie 16
(5 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.

Zadanie 17
(6 pkt)

Dany jest okrąg o0 o równaniu (x− 3)2 + (y− 1)2 = 1 . W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi o1, o2 styczne zewnętrznie do okręgu o0 i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o1 oraz o2 .

Zadanie 18
(7 pkt)

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania