/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki poziom podstawowy grupa I 14 marca 2018 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Rozwiązaniem układu nierówności { 2x− 4 ≤ 6 −x − 4 < − 2 jest zbiór

PIC

Zadanie 2
(1 pkt)

Wartość wyrażenia √- log39+2log3-3 2log24 jest równa
A) 2 3 B) 3 4 C) 4 D) 9

Zadanie 3
(1 pkt)

Cenę towaru obniżano dwa razy. Pierwsza obniżka wynosiła 10%, a druga 20%. O ile procent w wyniku obu obniżek spadła cena towaru?
A) o 24% B) o 26% C) o 28% D) o 30%

Zadanie 4
(1 pkt)

Jeżeli x2 − y2 = − 5 i x − y = 5 , to wartość wyrażenia 2 (x+ y) jest równa
A) 25 B) 16 C) 9 D) 1

Zadanie 5
(1 pkt)

Układ równań { x+ y− 6 = 0 x− y+ 4 = 0 opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkt
A) (1,5) B) (− 1,5) C) (1,− 5) D) (− 1,− 5)

Zadanie 6
(1 pkt)

Suma wszystkich pierwiastków równania: 2 − (x + 5)(x + 1)(x − 7) = 0 jest równa
A) 0 B) 2 C) − 2 D) 1

Zadanie 7
(1 pkt)

Rozwiązaniem równania x+-2 x− 2 = 3 (x ⁄= 2 ) jest liczba
A) − 2 B) 3 C) 4 D) − 3

Zadanie 8
(1 pkt)

Jeśli na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y = f(x ) , to dziedziną funkcji g (x ) = f(x − 1) jest zbiór

PIC

A) (− 3,4) B) (− 3,1⟩ C) (− 4,3) D) ⟨− 2,5)

Zadanie 9
(1 pkt)

Funkcja liniowa f (x) = ax + x − 2 jest malejąca. Wynika stąd, że
A) a > 1 B) a < 0 C) a < − 1 D) a > − 1

Zadanie 10
(1 pkt)

Miejsce zerowe funkcji liniowej f(x) = (t+ 1)x − t jest równe 2. Wynika stąd, że
A) t = − 1 B) t = − 2 C) t = 1 D) t = 2

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f(x) = −x 2 + 2x + k . Jeżeli f(3) = − 6 , to
A) k = − 1 B) k = − 2 C) k = − 3 D) k = − 4

Zadanie 12
(1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2x−1- −2 ≤ 3 jest
A) − 1 B) − 2 C) − 3 D) − 4

Zadanie 13
(1 pkt)

W rosnącym ciągu geometrycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , spełniony jest warunek a4 = 2 7a1 . Iloraz q tego ciągu jest równy
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

Zadanie 14
(1 pkt)

Jeśli sinα = 14 , to długość przyprostokątnej b danego trójkąta (patrz rysunek) jest równa

PIC

A) √ --- 1 7 B) √ ---- 135 C) √ ---- 140 D) √ ---- 1 53

Zadanie 15
(1 pkt)

Sinus kąta ostrego α jest równy 1 3 . Wówczas tg α jest równy
A) 1 3 B) √2- 3 C) 1 4 D) √ - --2 4

Zadanie 16
(1 pkt)

W okręgu o środku O dany jest kąt o mierze 50∘ , zaznaczony na rysunku.

PIC

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
A) 40∘ B) 5 0∘ C) 20∘ D) 25∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Przekątna prostokąta ma długość 12 cm i tworzy z jednym z boków kąt o mierze 30∘ . Pole powierzchni tego prostokąta jest równe
A) √ -- 36 2 cm 2 B) √ -- 24 3 cm 2 C) √ -- 36 3 cm 2 D) √ -- 24 2 cm 2

Zadanie 18
(1 pkt)

Proste o równaniach y = a2x− 5 oraz y = 21ax + 4 (a ⁄= 0 ) są prostopadłe dla a równego
A) − 2 B) 2 C) 1 D) − 1

Zadanie 19
(1 pkt)

Jeśli suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) określona jest wzorem 2 Sn = 2n + n , to wartość trzeciego wyrazu tego ciągu jest równa
A) 8 B) 10 C) 11 D) 21

Zadanie 20
(1 pkt)

Obrazem punktu P = (3,4 ) w symetrii środkowej względem punktu S jest punkt P′ = (− 1,− 2) . Wynika stąd, że
A) S = (− 1,− 1) B) S = (1,1) C) S = (− 1,1 ) D) S = (1,− 1)

Zadanie 21
(1 pkt)

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem o polu 4π2 . Objętość tego walca jest równa
A) 3 4π B) 3 2π C) 2 4π D) 2 2π

Zadanie 22
(1 pkt)

Kula wpisana w sześcian o przekątnej równej 6 ma objętość równą
A) √ -- 4 3 π B) √ -- 6 3π C) √ -- 8 3π D) √ -- 10 3π

Zadanie 23
(1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są nieparzyste?
A) 20 B) 24 C) 25 D) 16

Zadanie 24
(1 pkt)

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:

Liczba osób
w rodzinie 		Liczba
uczniów
3 6
4 12
x 2

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa
A) 3 B) 4 C) 5 D) 7

Zadanie 25
(1 pkt)

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1,2 ,3,4,...,25} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby, która jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe
A) -7 25 B) 6- 25 C) -5 25 D) -4 25

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x (2x + 1) ≤ 6 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x2+y2+2 x+ y ≤ ---2---- .

Zadanie 28
(2 pkt)

Uzasadnij, że jeśli miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to jeden z tych kątów ma miarę 60∘ .

Zadanie 29
(2 pkt)

Funkcja kwadratowa o wzorze f(x) = 2x 2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe x1 = − 1 i x2 = 2 . Wyznacz wartość liczbową współczynników b i c .

Zadanie 30
(2 pkt)

Oblicz odległość punktu K = (5,17) od środka odcinka o końcach A = (4 2,54) , B = (− 8,4) .

Zadanie 31
(2 pkt)

W pewnej klasie liczba chłopców stanowi 60% liczby wszystkich uczniów. Gdyby 6 chłopców przeniosło się do innej klasy, w klasie pozostałoby po tyle samo dziewcząt i chłopców. Oblicz ile osób liczy ta klasa oraz ile jest w niej dziewcząt.

Zadanie 32
(4 pkt)

W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości 5 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że sin α = 1 5 . Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 33
(4 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 34
(5 pkt)

Trzy liczby, których suma jest równa 105, tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 45, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania