/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (stara formuła)
poziom rozszerzony 9 maja 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 3|x + 2| = |x − 3|+ 11 .

Zadanie 2
(5 pkt)

Liczby a,b,c , spełniające warunek 3a + b+ 3c = 77 , są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a,b + 1,2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Zadanie 3
(5 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły ABCD , w którym |AD | = |AB | = |BC | = a , |∡BAD | = 6 0∘ i ∘ |∡ADC | = 135 . Oblicz pole czworokąta ABCD .

Zadanie 4
(4 pkt)

Z liczb ośmioelementowego zbioru Z = {1 ,2,3,4,5,6,7,9} tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 5
(3 pkt)

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC | > |BC | . Dwusieczna d C kąta ACB przecina bok AB w punkcie K . Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC , punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej dC kąta ACB , a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Zadanie 6
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k3m − km 3 jest podzielna przez 6.

Zadanie 7
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 cos2x + 3 sinx = 0 w przedziale ⟨ ⟩ − π2, 3π2-- .

Zadanie 8
(5 pkt)

Liczba 2 5 jest pierwiastkiem wielomianu W (x ) = 5x3 − 7x2 − 3x + p . Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność W (x) > 0 .

Zadanie 9
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x2 + (m + 1)x − m 2 + 1 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x 1 i x 2 (x ⁄= x ) 1 2 , spełniające warunek 3 3 x1 + x 2 > − 7x1x2 .

Zadanie 10
(6 pkt)

Punkt A = (7 ,− 1 ) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Obie współrzędne wierzchołka C są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie 2 2 x + y = 10 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Zadanie 11
(5 pkt)

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 4√3- 3 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania