/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 9 kwietnia 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 2 π co s 12 jest równa
A) √ - − -23 B) √ - 2+4-3 C) 1 2 D) - 2−-√3 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Jeżeli f(x) = − 1- x3 , to
A) ′ f (− 1) = − 3 B) ′ f (− 1) = − 1 C) f′(− 1) = 1 D) f′(− 1) = 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Wektory → a = [m − 2,m + 7] oraz → b = [m,2 ] są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy
A) m = − 4 lub m = − 1 B) m = 2 lub m = 4
C) m = − 3 lub m = − 2 D) m = 0

Zadanie 4
(1 pkt)

Wielomian W (x ) = (x + 2)5 − (x− 2)5 zapisano w postaci 5 4 3 2 W (x ) = a5x + a4x + a3x + a2x + a1x + a0 . Suma a5 + a4 + a3 + a2 + a1 jest równa
A) 180 B) 244 C) 242 D) 212

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Oblicz granicę (2n+1)2−-(2−-3n)2- nl→im+ ∞ (3n− 2)2 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Uzasadnij, że 36 48 79 < 27 .

Zadanie 7
(3 pkt)

Rozwiąż nierówność − 2 sin 2x ≥ 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 8
(3 pkt)

W trójkącie ABC poprowadzono odcinki AD ,BE i CF w ten sposób, że punkty D ,E i F są środkami odpowiednio odcinków BE ,CF i AD . Wykaż, że pole trójkąta DEF jest siedem razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

PIC

Zadanie 9
(4 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji 2 f(x ) = xx+−122 określonej dla x ⁄= 2 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Dane są liczby dodatnie a i b , dla których ciąg ( ) log a,log a+b,log b 3 jest rosnącym ciągiem arytmetycznym. Oblicz różnicę tego ciągu.

Zadanie 11
(4 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC . Przeciwprostokątna tego trójkąta jest 6,5 razy dłuższa niż promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC , który ma mniejszą miarę.

Zadanie 12
(5 pkt)

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 4 lub 9, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 6.

Zadanie 13
(5 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF GH jest romb o boku długości 5, polu 24 i kącie ostrym ∡BAD . Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną AKLM w ten sposób, że otrzymany przekrój jest rombem o kącie ostrym ∘ |∡KAM | = 45 (zobacz rysunek). Oblicz pole tego przekroju.

PIC

Zadanie 14
(6 pkt)

W trójkącie równoramiennym ABC dane są wierzchołki podstawy: B = (1 ,−1 ) i C = (4,0) . Jedno z ramion trójkąta zawiera się w prostej o równaniu x + 2y − 4 = 0 . Na boku AB tego trójkąta obrano taki punkt P , że |AP | : |PB | = 3 : 2 . Napisz równanie okręgu o środku w punkcie P , stycznego do podstawy BC .

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , w których suma długości dwóch sąsiednich boków i przekątnej jest równa 6. Niech x = |AB | .

  • Wykaż, że pole P prostokąta ABCD jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem
    x(1-8−-6x-) P (x) = 6− x
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania