/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 25 kwietnia 2015 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Pierwiastek równania 3x − 2 0 = 5 − x zaokrąglono do wartości 6,2. Błąd względny tego przybliżenia to
A) 8% B) 0,8% C) 0,08% D) 0,97%

Zadanie 2
(1 pkt)

Kwadrat K 1 o wierzchołkach A = (−4 ,−1 2) , B = (− 14,− 6) , C = (− 8,4) i D = (2,− 2) przekształcono w symetrii względem osi Ox i otrzymano kwadrat K2 . Odległość między środkami kwadratów K 1 i K 2 jest równa
A) 4 B) 8 C) √ -- 4 2 D) 8√ 2-

Zadanie 3
(1 pkt)

Wojtek 40% swoich oszczędności przeznaczył na zakup nowego plecaka. Połowę z tego, co mu zostało, przeznaczył na zakup butów. Ile procent oszczędności pozostało Wojtkowi?
A) 10% B) 30% C) 40% D) 20%

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba 125 7 jest równa
A) √ --- 7 ⋅ 549 B) 1 712 ⋅7 5 C) √ --- 75 ⋅ 5 49 D) √ --- 49⋅ 5 49

Zadanie 5
(1 pkt)

Pierwiastki x1,x2 równania 3 (x+ 4)(x− 2) = 0 spełniają warunek
A) -1 + -1 = − 1 x1 x2 B) 1-+ 1-= 0 x1 x2 C) x11 + x12 = 14 D) x11 + x12 = 12

Zadanie 6
(1 pkt)

Wyrażenie (a + 1 + 3b)2 jest równe
A) a2 + 9b2 + 6ab + 2a + 6b + 1
B) 2 2 a + 6a+ 9b + 1
C) 2 2 a + 3b + 6ab + 6b + 1
D) a2 + 3b2 + 1

Zadanie 7
(1 pkt)

Liczba ∘ -√-----√----- ∘ -√-----√----- 3 ( 5− 6)3 + 4 ( 6− 7)4 jest równa
A) √ -- √ -- 5 − 7 B) √ -- √ -- √ -- 2 6− 5 − 7 C) √ -- √ -- 7 − 5 D) √ -- √ -- √ -- 5− 2 6+ 7

Zadanie 8
(1 pkt)

Nierówność 3x + 2 < 1− 2mx jest sprzeczna jeżeli
A) m = 0 B) m = 1 3 C) 3 m = − 2 D) 1 m = − 2

Zadanie 9
(1 pkt)

O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1) = 2 . Do wykresu tej funkcji należy punkt P = (− 2,8) . Wzór funkcji f to
A) f(x ) = − 13x + 73 B) f(x) = − 12x + 7 C) f(x ) = − 3x + 7 D) f (x) = − 2x + 4

Zadanie 10
(1 pkt)

Reszta z dzielenia liczby 65 przez 7 jest równa
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja f , określona dla wszystkich liczb naturalnych, przyporządkowuje liczbie x ostatnią cyfrę liczby x 3 . Zbiór wartości funkcji f zawiera dokładnie
A) 2 elementy. B) 4 elementy. C) 6 elementów. D) 9 elementów.

Zadanie 12
(1 pkt)

Kąt α nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy zaznaczony jest na rysunku:

PIC

Zadanie 13
(1 pkt)

Obwód równoległoboku ABCD o wierzchołkach A = (1,8),B = (3,5),C = (9,1),D = (7,4) jest równy
A) √ --- 6 1 3 B) √ --- 8 1 3 C) 3√ 13- D) 4 √ 13-

Zadanie 14
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej postaci 2 f(x ) = a(x + b) + c .

PIC

Zatem
A) c = − 5 B) c = 5 C) b = − 5 D) b = 5

Zadanie 15
(1 pkt)

Rozwiązaniem równania (x + 3)(2 + x ) = (1− x)2 + 31x jest:
A) -5 29 B) 7- 24 C) -5 24 D) 279

Zadanie 16
(1 pkt)

Liczba ∘ sin 120 jest równa liczbie
A) cos150 ∘ B) co s30∘ C) tg 150∘ D) tg 30∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku jest równe

PIC

A) √ -- 6 3 + 18 B) √ -- 12 3 + 36 C) √ -- 6 3 + 9 D) √ -- 3 6 + 9

Zadanie 18
(1 pkt)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o wysokości h . Jeżeli r oznacza promień podstawy stożka, l oznacza długość jego tworzącej, to
A) 2 2 2 r + l = h B) 1+ √3 r+ h = --2--l C) r− h = l D) √ - r + h = l + --3l 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Mediana danych 11 ,1 ,4,a,2,4 jest równa 3. Wówczas
A) a = 6 B) a = 4 C) a = 2 D) a = 3

Zadanie 20
(1 pkt)

Wskaż liczbę, która spełnia równanie 9x = 4 .
A) log 9 − log 4 B) log3 log2 C) 2 log 92 D) 2log4 3

Zadanie 21
(1 pkt)

Dany jest nieskończony rosnący ciąg geometryczny (an) o wyrazach dodatnich, gdzie n ≥ 1 . Wtedy
A) a1a6 = a 2 4 B) a2a7 = a1a6 C) a2 = a a 4 3 5 D) a a = a a 3 5 2 7

Zadanie 22
(1 pkt)

Wyraz ogólny ciągu (an ) ma postać --1--- an = n(n+2) , gdzie n ≥ 1 . Wobec tego
A) an+ 2 + an = --2--- n(n+4)
B) − 2 an+2 + an = n(n+-4)
C) a + a = --2--- n+ 2 n n(n+2)
D) an+ 2 + an = n(−n2+2)

Zadanie 23
(1 pkt)

Z każdego ze zbiorów {1 ,2,3} i {2,3,6 } wybieramy po jednej liczbie i obliczamy ich iloczyn. Niech pi będzie prawdopodobieństwem otrzymania i w wyniku tego działania. Wtedy
A) p2 + p 3 = p6 B) p2 ⋅p3 = p 6 C) 2p2 = p6 D) 3p 3 = p6

Zadania otwarte

Zadanie 24
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 4 2 3 12x + 3x = 13x .

Zadanie 25
(2 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej 2 f(x ) = − 2x + bx + c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W = (− 3,1 ) . Oblicz wartości współczynników b i c .

Zadanie 26
(2 pkt)

Uzasadnij, że liczba √ --- 17 spełnia nierówność √ -- √ -- √ --- 7x + 12 ≥ 2 2x + 3 14 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Niech P 1 będzie prostokątem o bokach długości 3 i 8. Obok tego prostokąta rysujemy kolejne prostokąty P ,P ,P ,... 2 3 4 w ten sposób, że każdy z boków kolejnego prostokąta jest o 2 dłuższy od odpowiadających boków poprzedniego prostokąta.

PIC

Wyznacz liczbę n , dla której obwód prostokąta Pn jest równy 246.

Zadanie 28
(2 pkt)

Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze 100% pierwiastka pozostało 50% tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po x okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem ( )x y = 12 .

W przypadku izotopu radu 226 Ra czas połowicznego rozpadu jest równy 1600 lat. Po ilu latach z 1 g 226 Ra pozostanie nie więcej niż 6,25% masy tego pierwiastka?

Zadanie 29
(2 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita jest nieparzysta, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 8 daje resztę 1.

Zadanie 30
(2 pkt)

Na trójkącie o bokach długości 15, 20, 25 opisano okrąg. Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej do środka najdłuższego boku.

Zadanie 31
(4 pkt)

Wybieramy losowo 2 kostki z tabliczki czekolady przedstawionej na poniższym rysunku.

PIC

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrane dwie kostki są sąsiednie (tzn. mają wspólną krawędź).

Zadanie 32
(5 pkt)

Boki AB i CA trójkąta ABC są zawarte w prostych y = 7x− 13 i y = − 12x+ 2 , a jego dwa wierzchołki mają współrzędne B = (1,− 6) i C = (10,− 3) . Oblicz współrzędne spodka wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok BC .

Zadanie 33
(4 pkt)

Kacper i Hela otrzymali identyczne zestawy 138 drewnianych klocków, w których każdy klocek jest sześcianem o krawędzi 2 cm. Kacper ze swoich klocków zbudował graniastosłup prawidłowy czworokątny i zostały mu dwa klocki, których nie było gdzie dołożyć. Hela ze swoich klocków zbudowała trzy identyczne graniastosłupy prawidłowe czworokątne i zostały jej trzy klocki, których nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej graniastosłupa zbudowanego przez Kacpra do pola powierzchni całkowitej jednego z graniastosłupów zbudowanych przez Helę. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania