/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 5 maja 2018 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba ∘ -----√--- ∘ -----√--- 7− 4 3+ 7 + 4 3 jest równa
A) 16 B) √ 1-4 C) 4 D) √ -- 8 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Wyrażenie cosx − cos 3x jest równe
A) 2 4 sin x cosx B) 1− cos4x C) − 2sin 2xsin x D) 2co s2x cosx

Zadanie 3
(1 pkt)

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest równy − 1 , a suma wszystkich jego wyrazów jest równa ilorazowi tego ciągu. Drugi wyraz tego ciągu jest równy
A) −√5− 1 --2---- B) 1− √5 -2--- C) √- 1+--5 2 D) √ - --5−1 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Granica jednostronna x2−x−-2 lxi→m2− (2−x )2
A) nie istnieje B) jest równa − ∞ C) jest liczbą rzeczywistą D) jest równa + ∞

Zadanie 5
(1 pkt)

Układ równań { 2 2 (x+ 2) + (y − 1 ) = 25 (x− 1)2 + (y + 2 )2 = a z niewiadomymi x,y i parametrem dodatnim a ma dwa rozwiązania, gdy
A) √ -- √ -- a > 5 + 3 2 B) √ -- √ -- | a− 5| < 3 2 C) √ -- √ -- a + 3 2 < 5 D) √ -- √ -- | a − 5| > 3 2

Zadania otwarte

Zadanie 6
(3 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których wśród rozwiązań równania

|m − 5x| = 3

są zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne.

Zadanie 7
(3 pkt)

Wykaż, że cos14 0∘ + cos100 ∘ + co s20∘ = 0 .

Zadanie 8
(3 pkt)

Na bokach AB , AD i BC rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty K,L i M w ten sposób, że odcinki KL i KM są równoległe do przekątnych rombu. Wykaż, że odcinek LM przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych rombu.

Zadanie 9
(3 pkt)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f(x) = -x−3-2 (x+7) .

Zadanie 10
(3 pkt)

Rzucamy sześcienną kostką do gry tak długo, aż otrzymamy co najmniej dwie nieparzyste liczby oczek, albo 10 parzystych liczb oczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że w przeprowadzonym doświadczeniu otrzymaliśmy liczbę oczek równą 5, przy założeniu, że otrzymaliśmy tylko jedną nieparzystą liczbę oczek.

Zadanie 11
(4 pkt)

Ostrosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy długości a oraz jest prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej. Płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie 12
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2( π- ) 2 (π- ) 1 cos 6 + x + cos 6 − x = 2 + cosx .

Zadanie 13
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie 2 x − mx + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1 i x 2 takie, że 4 4 x1 + x2 = 46 .

Zadanie 14
(5 pkt)

Wyznacz trzywyrazowy ciąg geometryczny, w którym suma trzech kolejnych wyrazów jest równa 84, a ich iloczyn jest równy 13824.

Zadanie 15
(5 pkt)

Z punktu A = (7,1) poprowadzono styczne do okręgu 2 2 (x + 3) + (y − 1) = 20 . Oblicz pole trójkąta ABC , gdzie BC jest odcinkiem łączącym punkty styczności.

Zadanie 16
(7 pkt)

W kulę o promieniu długości R wpisano stożek o maksymalnej objętości. Oblicz objętość tego stożka.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania