/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 7 maja 2018 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 2log 6 − log 4 3 3 jest równa
A) 4 B) 2 C) 2log3 2 D) log 38

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ∘3-7 ∘3 81- 3 ⋅ 56 jest równa
A) √ - --3 2 B) -√2-- 2 321 C) 3 2 D) 94

Zadanie 3
(1 pkt)

Dane są liczby −12 a = 3,6⋅1 0 oraz −20 b = 2,4 ⋅10 . Wtedy iloraz a b jest równy
A) 8,64 ⋅10− 32 B) 1,5⋅ 10−8 C) 1,5 ⋅108 D) 8,64⋅ 1032

Zadanie 4
(1 pkt)

Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował
A) 865,00 zł B) 850,15 zł C) 1000,00 zł D) 977,50 zł

Zadanie 5
(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1−22x-> 13 jest przedział
A) ( 1) − ∞ ,6 B) ( 2) − ∞ ,3 C) ( ) 1 6,+ ∞ D) ( 2 ) 3,+ ∞

Zadanie 6
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = − 2(x + 3)(x− 5) . Liczby x 1,x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f . Zatem
A) x1 + x2 = −8 B) x1 + x2 = − 2 C) x1 + x2 = 2 D) x1 + x2 = 8

Zadanie 7
(1 pkt)

Równanie x2+-2x x2−4 = 0
A) ma trzy rozwiązania: x = − 2 , x = 0 , x = 2
B) ma dwa rozwiązania: x = 0 , x = −2
C) ma dwa rozwiązania: x = − 2, x = 2
D) ma jedno rozwiązanie: x = 0

Zadanie 8
(1 pkt)

Funkcja liniowa f określona jest wzorem 1 f(x) = 3x− 1 dla wszystkich liczb rzeczywistych x . Wskaż zdanie prawdziwe.
A) Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie ( ) 1 0,3
B) Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie (0,− 1)
C) Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie ( ) 0, 13
D) Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie (0,− 1)

Zadanie 9
(1 pkt)

Wykresem funkcji kwadratowej 2 f(x ) = x − 6x − 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
A) (− 6,− 3) B) (− 6,6 9) C) (3,− 12) D) (6,− 3)

Zadanie 10
(1 pkt)

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = ax + b , a punkt M = (3,− 2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
A) 1 B) 3 2 C) 3 − 2 D) − 1

Zadanie 11
(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem 5− 2n an = --6-- dla n ≥ 1 . Ciąg ten jest
A) arytmetyczny i jego różnica jest równa r = − 1 3 .
B) arytmetyczny i jego różnica jest równa r = − 2 .
C) geometryczny i jego iloraz jest równy 1 q = − 3 .
D) geometryczny i jego iloraz jest równy q = 56 .

Zadanie 12
(1 pkt)

Dla ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , spełniony jest warunek a 4 + a5 + a6 = 1 2 . Wtedy
A) a = 4 5 B) a = 3 5 C) a5 = 6 D) a5 = 5

Zadanie 13
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla n ≥ 1 , w którym √ -- a 1 = 2 , √ -- a2 = 2 2 , √ -- a3 = 4 2 . Wzór na n -ty wyraz tego ciągu ma postać
A) (√ -)n an = 2 B) -2n an = √ 2 C) ( √-2)n an = 2 D) - (√2)n an = 2

Zadanie 14
(1 pkt)

Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek).

PIC

Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
A) 27∘ < α < 30∘ B) 24 ∘ < α < 27 ∘ C) 21∘ < α < 24∘ D) 18∘ < α < 21∘

Zadanie 15
(1 pkt)

Dany jest trójkąt o bokach długości 2√ 5,3√ 5,4√ 5- . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości
A) 10, 15, 20 B) 20, 45, 80 C) √ -- 2 , √ -- 3 , √ -- 4 D) √ -- √ -- √ -- 5,2 5,3 5

Zadanie 16
(1 pkt)

Dany jest okrąg o środku S . Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek ∘ α + β = 111 . Wynika stąd, że

PIC

A) α = 74∘ B) α = 76∘ C) α = 7 0∘ D) α = 72∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Dany jest trapez prostokątny KLMN , którego podstawy mają długości |KL | = a , |MN | = b , a > b . Kąt KLM ma miarę 60 ∘ . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa

PIC

A) a − b B) 2(a − b) C) a + 12b D) a+2b-

Zadanie 18
(1 pkt)

Punkt K = (2,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM , w którym |KM | = |LM | . Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4 ,3) . Zatem
A) L = (5,3) B) L = (6,4) C) L = (3,5) D) L = (4,6)

Zadanie 19
(1 pkt)

Proste o równaniach y = (m + 2)x + 3 i y = (2m − 1)x− 3 są równoległe, gdy
A) m = 2 B) m = 3 C) m = 0 D) m = 1

Zadanie 20
(1 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS , a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).

PIC

Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS , spełnia warunek
A) α = 45∘ B) 45∘ < α < 60∘ C) α > 6 0∘ D) α = 60∘

Zadanie 21
(1 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy ∘ 45 (zobacz rysunek).

PIC

Wysokość graniastosłupa jest równa
A) 5 B) √ -- 3 2 C) √ -- 5 2 D) 5√-3 3

Zadanie 22
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

PIC

Objętość tej bryły jest równa
A) 53πr 3 B) 43πr 3 C) 2 πr3 3 D) 1πr3 3

Zadanie 23
(1 pkt)

W zestawie 2,2,2,...,2,4,4,4,...,4 ◟---◝◜----◞ ◟----◝◜---◞ mliczb m liczb jest 2m liczb (m ≥ 1 ), w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
A) 2 B) 1 C) √12- D) √ -- 2

Zadanie 24
(1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?
A) 402 B) 403 C) 203 D) 204

Zadanie 25
(1 pkt)

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe
A) 1355 B) 150- C) 1550 D) 35 50

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 2x 2 − 3x > 5 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Rozwiąż równanie (x3 + 12 5)(x2 − 64) = 0 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a , b prawdziwa jest nierówność

1 1 2 ---+ ---≥ -----. 2a 2b a+ b

Zadanie 29
(2 pkt)

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.

PIC

Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √ -- 2 − 1 .

Zadanie 30
(2 pkt)

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f (x) = ax (gdzie a > 0 i a ⁄= 1 ), należy punkt P = (2,9 ) . Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g , określonej wzorem g(x) = f (x )− 2 .

Zadanie 31
(2 pkt)

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a ) n , określonego dla n ≥ 1 , jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 32
(5 pkt)

W układzie współrzędnych punkty A = (4 ,3) i B = (1 0,5) są wierzchołkami trójkąta ABC . Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3 . Oblicz współrzędne punktu C , dla którego kąt ABC jest prosty.

Zadanie 33
(4 pkt)

Dane są dwa zbiory: A = {1 00,200,30 0,400,500,6 00,700} i B = {1 0,11,12,13,14 ,15,16} . Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zadanie 34
(4 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe √ -- 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania