/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CEN Bydgoszcz)
poziom podstawowy 5 marca 2020 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Zysk ze sprzedaży towaru w pewnej hurtowni w pierwszym miesiącu był równy 5000 zł, a w każdym następnym miesiącu o 5% wyższy w stosunku do miesiąca poprzedniego. Zysk hurtowni w szóstym miesiącu jej działalności opisuje wzór
A) 500 0⋅6 ⋅1,05 B) 6 5 000 ⋅1,05 C) 500 0⋅5 ⋅1,05 D) 5 500 0⋅1,0 5

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba √ ---- √ --- √ ---- √ ---- 2 52 43− 3 25⋅ 3 3 − 5+ 4 256 jest równa
A) 25 B) 15 C) 12 D) − 5

Zadanie 3
(1 pkt)

Wartość wyrażenia lo g 8√ 2- 2 jest równa
A) 3 2 B) 5 2 C) 7 2 D) 92

Zadanie 4
(1 pkt)

Wyrażenie (x − 3)2 − (x + 1)(x − 1 ) można przedstawić w postaci
A) 8 B) 8 − 6x C) 10 D) 10 − 6x

Zadanie 5
(1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 7x−10 1 x − 4 < 2 jest liczba
A) − 4 B) − 3 C) 2 D) 3

Zadanie 6
(1 pkt)

Równanie ( ) 12x − 1 ,5 (x 2 − 1 6) = 0
A) ma trzy różne rozwiązania B) ma dwa różne rozwiązania
C) ma jedno rozwiązanie D) nie ma rozwiązań

Zadanie 7
(1 pkt)

Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji f .

PIC

Funkcja ta przyjmuje wartości nieujemne dla
A) x ∈ ⟨− 5,− 3⟩ ∪ ⟨1,4⟩ B) x ∈ (− 5,− 3) ∪ (1,4)
C) x ∈ ⟨− 6,− 5) ∪ (− 3,1)∪ (4 ,5 ) D) x ∈ ⟨− 6,− 5⟩ ∪ ⟨− 3,1⟩ ∪ ⟨4,5)

Zadanie 8
(1 pkt)

Wykres funkcji f przedstawionej na rysunku powstał przez przesunięcie wykresu funkcji 4 g (x ) = x wzdłuż osi odciętych.

PIC

Funkcja f jest określona wzorem
A) f(x ) = x4+3- B) f(x) = 4x − 3 C) -4-- f(x) = x−3 D) 4 f(x) = x + 3

Zadanie 9
(1 pkt)

Funkcja liniowa f (x) = − (m + 1 )x+ m − 1 jest rosnąca dla
A) m > − 1 B) m < −1 C) m > 1 D) m < 1

Zadanie 10
(1 pkt)

Wykres funkcji liniowej f jest nachylony do osi Ox pod kątem 13 5∘ . Wiadomo, że f(− 3) = 8 . Funkcja liniowa f jest określona wzorem
A) y = 8x+ 3y = 0 B) x+ y− 5 = 0
C) 27x − y + 11 = 0 D) − 3x + 8y = 0

Zadanie 11
(1 pkt)

Proste k,l,m dane są równaniami k : y = 32 + 23x , l : y = − 32x + 12 , m : y = − 23x + 1 . Wynika stąd, że
A) proste k i l są prostopadłe
B) proste k i m są prostopadłe
C) proste l i m są prostopadłe
D) wśród prostych k,l,m nie ma prostych prostopadłych

Zadanie 12
(1 pkt)

Punkt A ′ jest obrazem punktu A (− 1;− 2) w symetrii względem prostej x + 4 = 0 . Zatem
A) ′ A (−1 ;9) B) ′ A (− 7,− 2) C) A ′(− 1,− 6) D) A ′(9 ,− 2 )

Zadanie 13
(1 pkt)

Punkt W = (− 1;3) jest wierzchołkiem wykresu funkcji kwadratowej f . Wobec tego funkcję f może przedstawiać wzór
A) f(x ) = 2(x − 1)2 + 3 B) f(x) = 2(x− 1)2 − 3
C) 2 f(x) = 2(x+ 1) + 3 D) 2 f(x ) = 2(x + 1) − 3

Zadanie 14
(1 pkt)

Dany jest ciąg n−15 an = -n--- . Liczba całkowitych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 0 B) 1 C) 3 D) 4

Zadanie 15
(1 pkt)

Liczby 3,x3,− 57 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Liczba x jest równa
A) − 3 B) 3 C) √3 --- 30 D) √3--- 60

Zadanie 16
(1 pkt)

W rosnącym ciągu geometrycznym a1 = 3 oraz S3 = 21 . Iloraz tego ciągu jest równy
A) − 3 B) 1 2 C) 2 D) 3

Zadanie 17
(1 pkt)

Liczba 3 cos267 ∘ + 2 cos2 23∘ + sin 267∘ jest równa
A) 3 B) 1 C) 2 ∘ cos 6 7 D) 2 ∘ 2 sin 23

Zadanie 18
(1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a,b,c .

PIC

Jeżeli sin α = 0 ,28 oraz a = 7 , to
A) √ --- b = 74 B) b = 2 5 C) b = 24 D) √ ---- b = 774

Zadanie 19
(1 pkt)

Okręgi o promieniach 4 cm oraz 6 cm są styczne zewnętrznie. Prosta, która jest styczna do okręgu o promieniu 6 cm w punkcie K przechodzi przez środek okręgu o promieniu 4 cm (patrz rysunek).

PIC

Długość odcinka KS 1 jest równa
A) 6 cm B) 8 cm C) 10 cm D) √ -- 6 2 cm

Zadanie 20
(1 pkt)

Pole rombu o boku 6 i kącie rozwartym 150∘ jest równe
A) √ -- 18 2 B) 18 C) √ -- 36 2 D) 36

Zadanie 21
(1 pkt)

Punkt S jest środkiem okręgu.

PIC

Miara kąta środkowego α jest równa
A) 36∘ B) 72∘ C) 12 0∘ D) 14 4∘

Zadanie 22
(1 pkt)

Powierzchnia boczna stożka o promieniu podstawy 6 cm, po rozwinięciu jest wycinkiem koła o kącie ∘ 120 . Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe
A) 12π cm 2 B) 36π cm 2 C) 72π cm 2 D) 108 π cm 2

Zadanie 23
(1 pkt)

Pewien graniastosłup ma 57 krawędzi. Liczba wszystkich ścian tego graniastosłupa jest równa
A) 19 B) 21 C) 38 D) 57

Zadanie 24
(1 pkt)

Na diagramie przestawiono wzrost pięciorga uczniów.

PIC

Odchylenie standardowe zestawu danych jest równe
A) 2 cm B) √ -- 2 cm C) √ 2,8-cm D) 2,8 cm

Zadanie 25
(1 pkt)

Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 tworzymy sześciocyfrowe liczby o niepowtarzających się cyfrach w taki sposób, że cyfry parzyste zapisane są obok siebie. Powstało w ten sposób
A) 36 liczb B) 132 liczby C) 144 liczby D) 720 liczb

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność: 2 x + 16 ≥ 10x + 40 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n , gdzie n ≥ 1 , liczba n n+ 1 n+ 2 n+3 2 + 2 + 2 + 2 jest podzielna przez 30.

Zadanie 28
(2 pkt)

Liczebność kolonii bakterii pewnego szczepu w zależności od czasu opisuje funkcja t f (t) = m0 ⋅a , gdzie t – oznacza czas obserwacji w godzinach, a – pewną stałą dodatnią, a m 0 – liczebność początkowej próby bakterii. Na początku doświadczenia zaobserwowano 300 sztuk bakterii. Po dwóch godzinach liczba bakterii wzrosła do 1200. Po jakim czasie liczba bakterii wzrośnie do 153600?

Zadanie 29
(2 pkt)

Pole kwadratu ABCD jest równe 16. Punkt E jest środkiem boku BC , a punkt S punktem przecięcia przekątnej BD kwadratu i odcinka AE . Wykaż, że odległość punktu S od boku AB jest równa 4 3 .

Zadanie 30
(2 pkt)

Na sześciu jednakowych kartkach napisano liczby: 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000. Z tych kartek losujemy kolejno bez zwracania trzy. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb tworzy liczbę podzielną przez cztery.

Zadanie 31
(2 pkt)

W ciągu arytmetycznym (a ) n , dla n ≥ 1 suma wyrazów trzeciego, czwartego i piątego wynosi 144. Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu (an) .

Zadanie 32
(4 pkt)

W trójkącie rozwartokątnym ABC o kącie rozwartym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD i otrzymano równoramienny trójkąt ACD . Długości boków AB i AC są odpowiednio równe √ -- |AB | = 4(1 + 3 ) i √ -- |AC | = 4 2 . Oblicz pole powierzchni koła opisanego na trójkącie ABC .

Zadanie 33
(4 pkt)

Właściciel sklepu kupuje zegarki płacąc producentowi 180 zł za sztukę. Następnie sprzedaje miesięcznie 30 sztuk takich zegarków po 230 zł. Sprzedawca oszacował, że każda obniżka ceny zegarka o złotówkę zwiększy liczbę sprzedanych zegarków o trzy sztuki. Niech x oznacza liczbę obniżek o 1 zł, gdzie x ∈ {1,2,3,...,30 } .

  • Wyznacz wzór funkcji miesięcznego zysku właściciela sklepu w zależności od x .
  • Jaką cenę zegarka powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego miesięczny zysk był największy? Ile będzie równy ten największy miesięczny zysk?

Zadanie 34
(5 pkt)

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe √ -- 16 3 , a jego objętość √ -- 80 3 . Wyznacz cosinus kąta α nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

PIC

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania