/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom podstawowy 3 czerwca 2016 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 76⋅67 426 jest równa
A) 4236 B) 42 7 C) 6 D) 1

Zadanie 2
(1 pkt)

Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką
A) o 50% B) o 56% C) o 60% D) o 66%

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba ∘3-√--- 3 3 jest równa
A) √63- B) √43- C) √33- D) √ -- 3

Zadanie 4
(1 pkt)

Różnica 50 0012 − 49999 2 jest równa
A) 2 000 000 B) 200 000 C) 20 000 D) 4

Zadanie 5
(1 pkt)

Najmniejsza wartość wyrażenia (x − y )(x+ y) dla x ,y ∈ {2,3,4} jest równa
A) 2 B) − 24 C) 0 D) − 12

Zadanie 6
(1 pkt)

Wartość wyrażenia lo g 3 + log 2 32 3 9 jest równa
A) − 1 B) − 2 C) 5 lo g311 D) 31 log3 18

Zadanie 7
(1 pkt)

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania 2 2 (x − 8)(x − 4)(x + 16 ) = 0 , wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa
A) 12 B) 10 C) 6 D) 4

Zadanie 8
(1 pkt)

Rozwiązaniem równania x−7-= 5 x , gdzie x ⁄= 0 , jest liczba należąca do przedziału
A) (− ∞ ,− 2) B) ⟨− 2,− 1) C) ⟨− 1,0) D) (0,+ ∞ )

Zadanie 9
(1 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem f(x ) = -24x3 x +1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wtedy liczba √ -- f(− 2) jest równa
A) 8 − 5 B) 4√ 2 − --3- C) √ - − 4--2 5 D) − 4 3

Zadanie 10
(1 pkt)

Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = − 2(x + 5 )(x− 11) . Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja f jest rosnąca.
A) (− ∞ ,3⟩ B) (− ∞ ,5⟩ C) (− ∞ ,11⟩ D) ⟨6,+ ∞ )

Zadanie 11
(1 pkt)

Ciąg (a ) n jest określony wzorem an = 6 (n− 16) dla n ≥ 1 . Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A) − 54 B) − 126 C) − 630 D) − 270

Zadanie 12
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , w którym a1 = 72 i a4 = 9 . Iloraz q tego ciągu jest równy
A) 1 q = 2 B) 1 q = 6 C) q = 14 D) q = 18

Zadanie 13
(1 pkt)

Dany jest trapez ABCD , w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC , |AD | = |DC | oraz |∡ABC | = 50∘ (zobacz rysunek).

PIC

Stąd wynika, że
A) β = 100∘ B) β = 120∘ C) β = 110∘ D) β = 130 ∘

Zadanie 14
(1 pkt)

Punkty A,B ,C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów α i β są odpowiednio równe

PIC

A) α = 36∘, β = 72∘ B) α = 54∘, β = 72∘ C) α = 3 6∘, β = 108∘ D) α = 72∘, β = 72∘

Zadanie 15
(1 pkt)

Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?
A) 6 10 B) 7 1 0 C) 10 D) 108

Zadanie 16
(1 pkt)

Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę 1 50∘ . Pole tego trójkąta jest równe
A) 100 B) 200 C) √ -- 100 3 D) √ -- 100 2

Zadanie 17
(1 pkt)

Prosta określona wzorem y = ax+ 1 jest symetralną odcinka AB , gdzie A = (− 3,2) i B = (1 ,4) . Wynika stąd, że
A) a = − 12 B) a = 12 C) a = − 2 D) a = 2

Zadanie 18
(1 pkt)

Układ równań { y = −ax + 2a y = b3x − 2 nie ma rozwiązania dla
A) a = − 1 i b = − 3 B) a = 1 i b = 3 C) a = 1 i b = − 3 D) a = − 1 i b = 3

Zadanie 19
(1 pkt)

Do pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby a . Zatem
A) a = 27 B) a = 18 C) a = 2 4 D) a = 36

Zadanie 20
(1 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD . Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa
A) ∘ 45 B) ∘ 3 0 C) ∘ 75 D) ∘ 90

Zadanie 21
(1 pkt)

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy
A) 0 ≤ p < 0,25 B) 0,25 ≤ p ≤ 0,4 C) 0,4 < p ≤ 0,5 D) p > 0,5

Zadanie 22
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna czterech liczb: x − 1,3x ,5x+ 1 i 7x jest równa 72. Wynika stąd, że
A) x = 9 B) x = 10 C) x = 17 D) x = 18

Zadanie 23
(1 pkt)

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y = ax + b oraz y = mx + n . Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.

PIC

Zatem
A) a ⋅m > 0 i b ⋅n > 0
B) a⋅m > 0 i b⋅n < 0
C) a ⋅m < 0 i b⋅ n > 0
D) a ⋅m < 0 i b ⋅n < 0

Zadanie 24
(1 pkt)

Dane są dwie sumy algebraiczne 3 3x − 2x oraz 2 − 3x − 2 . Iloczyn tych sum jest równy
A) − 9x5 + 4x B) − 9x 6 + 6x3 − 6x2 + 4x C) − x5 + 6x3 − 6x2 + 4x D) 6 − 9x + 4x

Zadanie 25
(1 pkt)

Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC . Punkty F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AF D jest równe 4.

PIC

Zatem pole trójkąta ABC jest równe
A) 12 B) 16 C) 18 D) 20

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 2x+-1 2x+1- 2x = x+1 , gdzie x ⁄= − 1 i x ⁄= 0 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Dane są proste o równaniach y = x + 2 oraz y = − 3x + b , które przecinają się w punkcie leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox .

Zadanie 28
(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x 4 + y 4 + x 2 + y 2 ≥ 2(x3 + y3).

Zadanie 29
(2 pkt)

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD . Dwusieczna kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Zadanie 30
(4 pkt)

W trójkącie ABC dane są długości boków |AB | = 15 i |AC | = 12 oraz cosα = 45 , gdzie α = ∡BAC . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że |BD | = 2|AD | i |AE | = 2|CE | (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz pole

  • trójkąta ADE .
  • czworokąta BCED .

Zadanie 31
(5 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , w którym a1 + a2 + a3 + a4 = 2016 oraz a 5 + a6 + a7 + ...+ a 12 = 2016 . Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (an) .

Zadanie 32
(4 pkt)

Dany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3:8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Zadanie 33
(4 pkt)

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10% większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania