/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 26 marca 2022 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

W turnieju szachowym rozegrano 28 partii. Każdy zawodnik rozegrał z każdym dokładnie 1 mecz. Ilu zawodników brało udział w turnieju?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7

Zadanie 2
(1 pkt)

Okrąg jest styczny do boku AB trójkąta ABC w punkcie D oraz przecina boki AC i BC tego trójkąta odpowiednio w punktach E ,F i G ,H (zobacz rysunek). Kat CHF ma miarę 72∘ .

PIC

Zaznaczony na rysunku kąt α ma miarę
A) 126 ∘ B) 36∘ C) 10 8∘ D) 14 4∘

Zadanie 3
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x . Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f .

PIC

A) f(x ) = 2co s(2x) B) ( ) f(x ) = 2π ⋅cos x2
C) f(x) = 2cos (x) 2 D) f(x) = 2π ⋅cos(2x )

Zadanie 4
(1 pkt)

Wielomian W (x) = x4 + 16 jest podzielny przez
A) x − 2 B) 2 x + 4 C) √ -- x 2 + 2 2x − 4 D) √ -- x2 − 2 2x + 4

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Rozwiąż równanie ||1− x|− 2 | = 3 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Oblicz granicę lim (n+1)!−n-!−-(n−-1)! n→+ ∞ (n+1)!+n !+ (n− 1)! .

Zadanie 7
(3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli --1-- x = 101−logz i --1-- y = 10 1−logx , to --1-- z = 101−logy .

Zadanie 8
(3 pkt)

Rzucono kostką do gry trzy razy. Za pierwszym razem nie wyrzucono 4 oczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek w trzech rzutach jest równa 15.

Zadanie 9
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność, której lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego

1 2 4 4 --2 + -3-+ --4 + ⋅ ⋅⋅ ≤--. x x x 21

Zadanie 10
(4 pkt)

Długości wysokości trójkąta o bokach 39,5 2,c , gdzie c > 52 tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin 4x + sin4(x + π) = 1 4 4 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których trójmian kwadratowy

2 4x − 2mx + m − 1

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x 1 oraz x2 , spełniające warunki:

2 2 x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz x1 + x2 ≤ ---+ --. x 1 x2

Zadanie 13
(5 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem 3 f(x) = 2x-+xk- dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 . Oblicz wartość k , dla której prosta o równaniu y = − 5x jest styczna do wykresu funkcji f .

Zadanie 14
(6 pkt)

W okrąg o środku S = (2,3) wpisano trapez w taki sposób, że jedna podstawa jest średnicą okręgu, a druga jest zawarta w prostej o równaniu 2x+ y+ 3 = 0 . Pole tego trapezu jest równe √ -- 10+ 10 5 . Oblicz współrzędne tych wierzchołków trapezu, które są końcami jego krótszej podstawy.

Zadanie 15
(7 pkt)

Z kawałka blachy w kształcie sześciokąta foremnego o boku długości 60 cm robimy pudełko o sześciokątnym dnie (otwarte od góry) w następujący sposób: przy każdym wierzchołku odcinamy taki sam deltoid, tnąc w tej samej odległości od wierzchołka raz prostopadle do jednego, a drugi raz do drugiego boku, następnie zaginamy blachę wzdłuż przerywanych linii i lutujemy krawędzie (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz długość krawędzi podstawy tego pudełka, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania