/Szkoła średnia

Lubelska próba przed maturą
z matematyki poziom rozszerzony 25 lutego 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba a jest rozwiązaniem równania lo g16x + log4 x+ lo g2x = 7 . Zatem
A) a = 4 B) a = 1 6 C) a = 1 2 D) a = 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Wyrażenie cos2x − co s4x − sin 3x jest równe
A) sin 3x(2 sin x − 1)
B) sin3x (1− 2sin x)
C) 2 cos3x cos x− sin 3x
D) 2 sin 3x(2 cosx − 1 )

Zadanie 3
(1 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 5, a różnica tego ciągu jest równa 3. Suma 100 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa
A) 15100 B) 30500 C) 30200 D) 61000

Zadanie 4
(1 pkt)

Funkcja { x2− 1 f (x) = -x−1 dla x ⁄= 1 m dla x = 1 jest funkcją ciągłą. Wtedy
A) m = 1 B) m = − 1 C) nie istnieje takie m D) m = 2

Zadanie 5
(1 pkt)

Ile rozwiązań ma układ równań { y = x2 − 2 x2 + (y+ 1)2 = 1 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

W pudełku jest 7 kul białych i 3 czarne. Doświadczenie polega na wylosowaniu 3 kul. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej dwóch kul białych?

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę (---1-- --1-) lixm→1 3(x−1) − x3−1 .

Zadanie 8
(2 pkt)

Oblicz pochodną funkcji 2 f (x) = x-−5x2−-1 x w punkcie x = 2 .

Zadanie 9
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli n ∈ N , to liczba postaci (n + 2)4 − n4 jest podzielna przez 16.

Zadanie 10
(3 pkt)

Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy kąt zawarty między środkową, a wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego.

Zadanie 11
(3 pkt)

W trapez prostokątny wpisano okrąg o promieniu r . Najkrótszy bok tego trapezu ma długość 1,5r . Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 12
(3 pkt)

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian (x + 1 )(x− 2) wiedząc, że W (−1 ) = − 1 i W (2) = 2 .

Zadanie 13
(4 pkt)

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest większa niż 9, jeżeli wiadomo, że dokładnie jeden raz wypadło 6 oczek?

Zadanie 14
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 2 mx + (m − 3)x+ 2− m = 0 ma dwa rozwiązania dodatnie.

Zadanie 15
(6 pkt)

W zbieżnym nieskończonym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy 4, a różnica między trzecim i piątym wyrazem jest równa 3821 . Jaka jest suma wyrazów tego ciągu?

Zadanie 16
(6 pkt)

Punkt A = (3 ,4 ) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC , o kącie prostym ACB , a S = (0,3) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta, wiedząc, że C należy do ujemnej części osi Ox .

Zadanie 17
(6 pkt)

Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 36. Jakie są wymiary graniastosłupa o największej objętości?

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania