/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom podstawowy 25 marca 2023

Zadanie 1

(1 pkt)

Dany jest układ równań

{ y = x + 1 y = −x + 1.

Na którym z rysunków przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań?

Zadanie 2

(1 pkt)

Liczba √ --- √ ---2 ( 12 + 1 − 75) jest równa
A) √ -- 17 + 6 3 B) √ -- 3+ 2 3 C) -- 28 − 6√ 3 D) -- 17 + 12√ 3

Zadanie 3

(1 pkt)

Pani Łucja kupiła obligacje Skarbu Państwa za 20 000 zł oprocentowane 6% w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji kupionych przez panią Łucję będzie po dwóch latach równa
A) 200 00⋅1 ,12 B) 20000 ⋅(1,6)2 C) 2000 0⋅(1 ,0 6)2 D) 20 000 ⋅1,36

Zadanie 4

(1 pkt)

Liczba dwukrotnie mniejsza od log 2+ lo g8 jest równa
A) log 4 B) lo g8 C) lo g7 D) log 3

Zadanie 5

(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia 2 2 (3a + 4 ) − (3a − 4) jest równa
A) 48a B) 0 C) 27a2 D) 9a2

Zadanie 6

(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których cyfra 5 występuje dokładnie jeden raz, jest
A) 3285 B) 1125 C) 765 D) 3240

Informacja do zadań 7.1 i 7.2

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , przedstawiono wykres funkcji określonej dla każdego x ∈ (− 4,5] . Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Zadanie 7.1

(1 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji .

Zadanie 7.2

(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Dla każdego argumentu z przedziału funkcja przyjmuje wartości dodatnie.	P	F
Funkcja ma cztery miejsca zerowe.	P	F

Zadanie 8

(2 pkt)

Wykaż, że jeśli jest liczbą nieparzystą, to liczba a3 − a jest podzielna przez 12.

Zadanie 9

(1 pkt)

Dodatnie liczby i spełniają warunek 3x = 2y . Wynika stąd, że wartość wyrażenia x2+y2 --x⋅y- jest równa
A) 2 3 B) 13 6 C) -6 13 D) 3 2

Zadanie 10

(1 pkt)

Dana jest funkcja liniowa określona wzorem f(x ) = ax + b , gdzie i są liczbami rzeczywistymi. Rozwiązaniem nierówności f(x ) ≥ 1 jest przedział (− ∞ ,3] . Współczynniki i we wzorze funkcji spełniają warunki
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Zadanie 11

(1 pkt)

Dana jest funkcja wykładnicza −x f(x) = 1 + 2 określona dla x ∈ R .
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział

ponieważ wykres funkcji y = f (x) można otrzymać z wykresu funkcji x y = 2 poprzez

1)	symetrię względem osi i przesunięcie o 1 jednostkę w dół.
2)	symetrię względem osi i przesunięcie o 1 jednostkę w górę.
3)	symetrię względem osi i przesunięcie o 1 jednostkę w górę.

Zadanie 12

(1 pkt)

Przybliżenie liczby 1,8 ⋅10− 1,4 jest równe 0,07165929. Przybliżeniem liczby 54 ⋅100,6 z dokładnością do 3 miejsca po przecinku jest liczba
A) 21,499 B) 214,978 C) 2149,779 D) 71,659

Zadanie 13

(1 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , spełniony jest warunek 3a4 = a 3 + 2a 2 + 4 . Różnica tego ciągu jest równa
A) B) 1 C) D) 4 5

Zadanie 14

(2 pkt)

Rozwiąż równanie 3x 3 + 6x 2 − 27x − 54 = 0 .

Zadanie 15

(1 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AB | = 8 , |BC | = 3 , |AC | = 7 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta jest równy .	P	F
Trójkąt jest ostrokątny.	P	F

Zadanie 16

(1 pkt)

Liczba ∘ ∘ ∘ ∘ cos12 5 ⋅sin 35 − sin 125 ⋅cos 35 jest równa
A) 1 B) 0 C) − 1 D) √ - --3 2

Zadanie 17

(2 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . W tym ciągu a1 = 5 , a2 = − 15 , a3 = 45 .
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Wzór ogólny ciągu (an) ma postać
A) an = −5 ⋅(− 3)n− 1 B) an = 5 ⋅(− 3)n
C) n− 1 an = 5 ⋅(− 3) D) (−-3)n an = 5 ⋅ 3

E) an = − 5 ⋅(− 3)n 3 F) an = 5 ⋅(− 3)n ⋅3

Zadanie 18

(1 pkt)

Dany jest ciąg (an ) określony wzorem an = 7 − n+-2 3 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg jest geometryczny.	P	F
Suma szesnastu początkowych wyrazów ciągu jest równa 56.	P	F

Zadanie 19

(1 pkt)

Promień okręgu danego równaniem x 2 − 6x + y2 + 8y+ 9 = 0 ma długość
A) 2 B) 4 C) 9 D) 16

Zadanie 20

(4 pkt)

Do wyznaczenia trzech pastwisk na pewnej łące należy użyć ogrodzenia elektrycznego o łącznej długości 960 metrów. Dwa z tych pastwisk mają mieć kwadratowy kształt, a trzecie ma mieć kształt prostokąta, którego jeden z boków jest dwa razy dłuższy od boku pastwiska w kształcie kwadratu (zobacz rysunek).

Oblicz wymiary i tych pastwisk tak, aby ich łączna powierzchnia była największa możliwa. Oblicz tą największą powierzchnię.

Informacja do zadań 21.1 – 21.3

Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zadanie 21.1

(1 pkt)

Funkcja jest określona za pomocą funkcji następująco: g (x) = f(x + 1 ) . Wykres funkcji przedstawiono na rysunku

Zadanie 21.2

(3 pkt)

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Zadanie 21.3

(1 pkt)

Rozwiąż nierówność f (x) > 0 .

Zadanie 22

(1 pkt)

W pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej lub białej jest równe
A) 2 3 B) 2 9 C) -9 10 D) 3 5

Zadanie 23

(1 pkt)

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 5 i 12 połączono wierzchołek kąta prostego ze środkiem przeciwprostokątnej. Długość odcinka jest równa
A) √ ---- 12 1 59 B) 6,5 C) 13 D) √ 119-

Zadanie 24

(1 pkt)

Odcinki i przecinają się w punkcie . Ponadto |AD | = 6 , |OD | = 9 i |BC | = 1 0 . Kąty ODA i BCO są proste (zobacz rysunek).

Długość odcinka jest równa
A) 12 B) 15 C) √ --- 6 13 D) 5√ 13-

Informacja do zadań 25.1 i 25.2

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) , dane są proste oraz o równaniach

1- k : y = 4 x− 2 l : y = ax + 2,

gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą.

Zadanie 25.1

(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Proste i mogą mięc nieskończenie wiele punktów wspólnych.	P	F
Punkt wspólny prostych i może leżeć w I ćwiartce układu współrzędnych	P	F

Zadanie 25.2

(1 pkt)

Proste i są prostopadłe. Wyznacz ich punkt przecięcia.

Zadanie 26

(1 pkt)

Rozwiązaniem równania x+-5 = 2 x− 3 3 jest liczba
A) 14 − 5 B) − 7 C) − 173 D) − 2 1

Zadanie 27

(2 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS wszystkie krawędzie mają jednakową długość.

Oblicz cosinus kąta utworzonego przez wysokości i dwóch sąsiednich ścian bocznych.

Zadanie 28

(2 pkt)

Przeprowadzono badanie dziennej liczby pokonywanych kilometrów przez kierowców pięciu taksówek. Na koniec dnia otrzymano następujące wyniki:
– I kierowca – 169 kilometrów
– II kierowca – 190 kilometrów
– III kierowca – 183 kilometrów
– IV kierowca – 197 kilometrów
– V kierowca – 211 kilometrów.
Odchylenie standardowe liczby przejechanych kilometrów jest równe σ = 14 . Podaj numery kierowców, dla których liczba przejechanych kilometrów mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.

Zadanie 29

(1 pkt)

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego trójkątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt ABCD , w którym bok odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna tego prostokąta ma długość 15 i tworzy z bokiem kąt o mierze ∘ 30 (zobacz rysunek).