/Szkoła średnia

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 25 sierpnia 2015 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Jeśli a = 3 2 i b = 2 , to wartość wyrażenia a⋅b a+b-- jest równa
A) 2 3 B) 1 C) 6 7 D) 27 6

Zadanie 2
(1 pkt)

Dany jest prostokąt o wymiarach 40 cm × 100 cm . Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o 20%, a każdy z krótszych boków skrócimy o 20%, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta
A) zwiększy się o 8%
B) zwiększy się o 4%
C) zmniejszy się o 8%
D) zmniejszy się o 4%

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba 95⋅59 455 jest równa
A) 4540 B) 45 9 C) 94 D) 54

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba ∘ -- ∘ -- 9+ 7 7 9 jest równa
A) ∘ -16 63 B) -16- 3√7 C) 1 D) - 3+√√-7 3 7

Zadanie 5
(1 pkt)

Wartość wyrażenia 1 lo g50,04 − 2 log255 ⋅log25 1 jest równa
A) − 3 B) − 214 C) − 2 D) 0

Zadanie 6
(1 pkt)

Wartość wyrażenia (a + 5)2 jest większa od wartości wyrażenia (a2 + 10a ) o
A) 50 B) 10 C) 5 D) 25

Zadanie 7
(1 pkt)

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań { x+ 3y = − 5 3x− 2y = − 4. Wskaż ten rysunek

PIC

Zadanie 8
(1 pkt)

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 2 (x− 2) ≤ 4(x − 1) + 1 jest
A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1

Zadanie 9
(1 pkt)

Rozwiązaniem równania x 2(x + 1) = x2 − 8 jest
A) − 9 B) − 2 C) 2 D) 7

Zadanie 10
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 2x−8- x dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 . Wówczas wartość funkcji √ -- f( 2) jest równa
A) √ -- 2 − 4 2 B) √ -- 1− 2 2 C) √ -- 1 + 2 2 D) √ -- 2 + 4 2

Zadanie 11
(1 pkt)

Parabola o wierzchołku W = (− 3,5) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
A) 2 y = 2⋅(x + 3) + 5
B) y = − 2 ⋅(x− 3)2 + 5
C) y = − 2 ⋅(x + 3)2 + 5
D) y = − 2 ⋅(x − 3)2 − 5

Zadanie 12
(1 pkt)

Wykres funkcji liniowej y = 2x− 3 przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych
A) (0,− 3) B) (− 3,0) C) (0,2) D) (0,3)

Zadanie 13
(1 pkt)

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y = f(x ) ma współrzędne (2,2) . Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x) = f(x + 2) ma współrzędne
A) (4,2 ) B) (0,2) C) (2,0) D) (2,4)

Zadanie 14
(1 pkt)

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
A) 77 B) 84 C) 91 D) 98

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg liczbowy określony jest wzorem an = 2nn−-1 2 + 1 , dla n ≥ 1 . Piąty wyraz tego ciągu jest równy
A) − 1 B) 31 33 C) 9- 11 D) 1

Zadanie 16
(1 pkt)

Sinus kąta ostrego α jest równy 3 4 . Wówczas
A) cosα = 1 4 B) √- co sα = -7- 4 C) 7- co sα = 16 D) √13- co sα = 16

Zadanie 17
(1 pkt)

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych 2 i 5 cosinus większego z kątów ostrych jest równy
A) 5 2 B) 2 5 C) --2- √ 29 D) √5-- 29

Zadanie 18
(1 pkt)

Pole rombu o boku 6 i kącie rozwartym ∘ 150 jest równe
A) √ -- 18 2 B) 18 C) √ -- 36 2 D) 36

Zadanie 19
(1 pkt)

W okręgu o środku O dany jest kąt o mierze 50∘ , zaznaczony na rysunku.

PIC

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą α jest równa
A) 40∘ B) 5 0∘ C) 20∘ D) 25∘

Zadanie 20
(1 pkt)

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty A = (− 4,3) oraz B = (8 ,7) , jest równy
A) a = 3 B) a = − 1 C) a = 56 D) a = 13

Zadanie 21
(1 pkt)

Punkt S = (2,− 5) jest środkiem odcinka AB , gdzie A = (− 4,3) i B = (8,b) . Wtedy
A) b = −1 3 B) b = − 2 C) b = − 1 D) b = 6

Zadanie 22
(1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków a,b,c , gdzie a < b < c . Obracając ten trójkąt, wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt 360∘ , otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa
A) V = 1a 2b π 3 B) V = a2b π C) 1 2 V = 3b aπ D) 2 V = a π + πac

Zadanie 23
(1 pkt)

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy 4 i wysokość jest równa 6, ma długość
A) √ --- 10 B) √ --- 2 0 C) √ --- 52 D) 10

Zadanie 24
(1 pkt)

W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe
A) -1 15 B) 1- 33 C) 15 33 D) 1158

Zadanie 25
(1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
A) 3 B) 6 C) 9 D) 27

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 2x−x-4= 2xx−4- , gdzie x ⁄= 0 i x ⁄= 2 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim – 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11.

Zadanie 28
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 20x ≥ 4x2 + 24 .

Zadanie 29
(2 pkt)

Kąt α jest ostry i tgα + t1gα = 72 . Oblicz wartość wyrażenia sin αcos α .

Zadanie 30
(2 pkt)

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x 3 + y3 ≥ x2y+ xy2 .

Zadanie 31
(2 pkt)

W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC , a punkt R jest środkiem boku CD . Wykaż, że pole trójkąta AP R jest równe sumie pól trójkątów ADR oraz PCR .

PIC

Zadanie 32
(4 pkt)

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A = (− 2 ,2), B = (6,− 2), C = (10,6 ) .

Zadanie 33
(4 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ∘ 30 . Oblicz objętość ostrosłupa.

PIC

Zadanie 34
(5 pkt)

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem 2 f(x ) = ax + bx + c . Zbiorem rozwiązań nierówności f (x) > 0 jest przedział (0,12 ) . Największa wartość funkcji f jest równa 9. Oblicz współczynniki a,b i c funkcji f .

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania