Zadanie nr 9049475

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (4;− 1) i B = (3;− 7) .

Rozwiązanie

Możemy zacząć od obrazka.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów M = (x ,y) , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie

AM 2 = BM 2 2 2 2 2 (x − 4) + (y + 1) = (x − 3 ) + (y + 7) x 2 − 8x + 1 6+ y2 + 2y+ 1 = x2 − 6x + 9 + y2 + 14y + 4 9 0 = 2x+ 12y + 41 12y = − 2x − 41 y = − 1x − 4-1. 6 1 2

Sposób II

Najprościej jest skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→v = A→B = [3 − 4,− 7 + 1] = [− 1,− 6]

oraz 4+3-−-1−7 7 P = ( 2 , 2 ) = (2,− 4) (środek odcinka ). Zatem szukana prosta ma równanie

( 7 ) − x − -- − 6(y + 4) = 0 2 7 − x + 2-− 6y− 24 = 0 − x − 4-1 = 6y / : 6 2 1- 4-1 y = − 6x − 1 2.

Sposób III

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (4,− 1) i (3,− 7) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ − 1 = 4a+ b − 7 = 3a+ b

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby zredukować ) mamy 6 = a . Współczynnik nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy − 16 (bo pomnożony przez 6 ma dawać -1). Zatem symetralna ta ma postać y = − 1x + b 6 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka , czyli punktu 4+3 −1−7 7 P = (-2--,--2-) = (2,− 4) .