Zadanie nr 9127300

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 1 20∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Aby zaznaczyć kąt między dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa dorysowujemy dwie wysokości i sąsiednich ścian bocznych.

Płaszczyzna BED jest prostopadła do prostej (bo zawiera dwie nierównoległe proste prostopadłe do ), więc kąt BED jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.

Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy przez , to mamy

-- 1 √ -- a√ 2 OB = OC = -a 2 = ----. 2 2

Sposób I

Z trójkąta prostokątnego BOE obliczamy długość odcinka .

√ - OB √ -- OB a--2 a √ 2- ----= tg 60∘ = 3 ⇒ OE = √---= √-2- = --√--. OE 3 3 2 3

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym OCE .

∘ -------- ∘ --- ∘ ----2------2 a2- a2- a2- -a-- EC = OC − OE = 2 − 6 = 3 = √ --. 3

Zauważmy teraz, że trójkąty SOC i OEC są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku . Są więc podobne i mamy

OS-- OE-- OC = EC a√2- --5- 2√3- a√ 2 = √a- -2-- 3- 10 √ 2 -√---= ---- ⇒ a = 10. a 2 2

Pozostało jeszcze obliczyć objętość ostrosłupa

1 1 500 V = --⋅Pp ⋅H = --⋅10 0⋅5 = ----. 3 3 3

Sposób II

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOC .

∘ --------- √ ---------- ∘ ------------ 2a2 100+ 2a2 SC = SO 2 + OC 2 = 25 + ----= ------------. 4 2

Obliczamy teraz długość odcinka – można to zrobić porównując dwa wzory na pole trójkąta prostokątnego SOC ( jest wysokością tego trójkąta), ale my zrobimy to inaczej – korzystamy z podobieństwa trójkątów prostokątnych SOC i SEO .