/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony
(formuła 2015) 12 maja 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Granica ---x3−-1--- lixm→1 (x−1)(x+ 2) jest równa
A) (− 1) B) 0 C) 1 3 D) 1

Zadanie 2
(1 pkt)

Dane są wektory → u = [4,− 5] oraz → v = [− 1,− 5] . Długość wektora → → u − 4 v jest równa
A) 7 B) 15 C) 17 D) 23

Zadanie 3
(1 pkt)

Punkty A , B , C , D , E leżą na okręgu o środku S . Miara kąta BCD jest równa 110∘ , a miara kąta BDA jest równa ∘ 35 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wtedy kąt DEA ma miarę równą
A) 100 ∘ B) 105∘ C) 11 0∘ D) 11 5∘

Zadanie 4
(1 pkt)

Dany jest zbiór trzynastu liczb {1, 2 , 3, 4, 5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 1 2, 13 } , z którego losujemy jednocześnie dwie liczby. Wszystkich różnych sposobów wylosowania z tego zbioru dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą, jest
A) (72)+ 49 B) (61)⋅ (71) + 49 C) 13 7 (2 )− (2) D) 13 6 (2 )− (2)

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Wielomian 3 2 W (x) = 7x − 9x + 9x − 2 ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Oblicz ten pierwiastek.

Zadanie 6
(3 pkt)

Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x + y = 4 i nierówność

x3 − x2y ≤ xy 2 − y 3.

Wykaż, że x = 2 oraz y = 2 .

Zadanie 7
(3 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym |∡ABC | = 90∘ oraz |∡CAB | = 60∘ . Punkty K i L leżą na bokach – odpowiednio – AB i BC tak, że |BK | = |BL | = 1 (zobacz rysunek). Odcinek KL przecina wysokość BD tego trójkąta w punkcie N , a ponadto |AD | = 2 .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że √ -- |ND | = 3+ 1 .

Zadanie 8
(3 pkt)

W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie – z kul pozostałych w pojemniku – losujemy jeszcze jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim losowaniu.

Zadanie 9
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = -3x2−-2x- x2+2x+8 dla każdej liczby rzeczywistej x . Punkt P = (x ,3) 0 należy do wykresu funkcji f . Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P .

Zadanie 10
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność √ ------------ √ ------------ x 2 + 4x + 4 < 235− x2 − 6x + 9 .

Zadanie 11
(4 pkt)

Określamy kwadraty K 1, K 2, K 3, ... następująco:

  • K1 jest kwadratem o boku długości a

  • K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

  • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • K n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn −1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Zadanie 12
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 2 3 sin x − sin 2x = 0 w przedziale [π ,2π ] .

Zadanie 13
(4 pkt)

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 4 i |CD | = 5 , jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC kąt o mierze ∘ 60 , natomiast z bokiem AB – kąt ostry, którego sinus jest równy 14 . Oblicz obwód czworokąta ABCD .

Zadanie 14
(4 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 6. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AH i DE ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S na bok BH tego trójkąta.

Zadanie 15
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ⁄= 2 , dla których równanie

2 m-−--3 x + 4x− m − 2 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x 2 spełniające warunek x 3+ x 3> − 28 1 2 .

Zadanie 16
(7 pkt)

Rozważamy trójkąty ABC , w których A = (0,0), B = (m,0) , gdzie m ∈ (4,+ ∞ ) , a wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = − 2x . Na boku BC tego trójkąta leży punkt D = (3,2 ) .

  • Wykaż, że dla m ∈ (4,+ ∞ ) pole P trójkąta ABC , jako funkcja zmiennej m , wyraża się wzorem

    m 2 P(m ) = ------ m − 4

  • Oblicz tę wartość m , dla której funkcja P osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej BC , przy której funkcja P osiąga tę najmniejszą wartość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania