/Szkoła średnia

Zadanie nr 9228274

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 18 cm i 12 cm, którego kąt między tymi bokami ma miarę równą 60∘ . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa ABCS mają długości równe 12 cm. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i dzielącą jego wysokość w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka tego ostrosłupa. Wykonaj rysunek ostrosłupa ABCS z zaznaczonym przekrojem i oblicz:

  • obwód otrzymanego przekroju,
  • objętość tej z brył wyznaczonych przez przekrój, która nie jest podobna do ostrosłupa ABCS .

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

  • Zauważmy, że otrzymany ostrosłup P QRS jest podobny do ostrosłupa ABCS w skali 13 . Zatem obwód trójkąta PQR jest równy 1 3 obwodu trójkąt ABC . Aby wyliczyć obwód trójkąta ABC , musimy wyliczyć długość boku AC – możemy to łatwo zrobić z twierdzenia cosinusów.
    2 2 2 ∘ AC = AB + BC − 2AB ⋅BC cos6 0 2 2 2 1 AC = 1 2 + 1 8 − 2 ⋅12 ⋅18 ⋅--= 144 + 324 − 21 6 = 252 √ -- 2 AC = 6 7.

    Zatem obwód trójkąta P QR jest równy

    1 1 √ -- √ -- -(AB + BC + AC ) = --(12+ 18+ 6 7) = 10 + 2 7. 3 3

     
    Odpowiedź: √ -- 10 + 2 7

  • Plan jest następujący: objętość interesującej nas bryły to różnica objętości dużego i małego ostrosłupa. Z podobieństwa tych ostrosłupów, ta różnica objętości jest równa
    V − 1-V = 2-6V , 27 2 7

    gdzie przez V oznaczyliśmy objętość ostrosłupa ABCS . Do wyliczenia V brakuje nam wysokości ostrosłupa. Ponieważ wszystkie krawędzie boczne są równe, spodek wysokości O ostrosłupa to dokładnie środek okręgu opisanego na trójkącie ABC (bo trójkąty SOA ,SOB i SOC są przystające). Zatem do wyliczenia wysokości potrzebna nam jest długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC . Tę jednak możemy łatwo wyliczyć z twierdzenia sinusów.

    √ -- -AC---- 6--7- √ --- sin 60∘ = 2R = 2AO ⇒ AO = √ 3 = 2 21.

    Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AOS .

    ∘ ------------ √ --------- √ --- √ --- SO = AS 2 − AO 2 = 144− 84 = 60 = 2 15.

    Wyliczmy jeszcze pole podstawy ostrosłupa.

    √ -- 1- ∘ 1- --3- √ -- PABC = 2AB ⋅BC sin 60 = 2 ⋅12 ⋅18 ⋅ 2 = 5 4 3.

    Zatem interesująca nas objętość jest równa

    26 26 1 26 1 √ -- √ --- ---V = ---⋅--PABC ⋅SO = ---⋅--⋅54 3 ⋅2 15 = 27 27 √3-- √ -- 27 3 = 26 ⋅2 ⋅2 5 = 10 4 5.

     
    Odpowiedź: √ -- 104 5

Wersja PDF