/Szkoła średnia

Zadanie nr 9233754

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy kąt zawarty między środkową, a wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez CE ,CF ,CG kolejno: środkową, dwusieczną i wysokość trójkąta prostokątnego ABC .

PIC

Zauważmy, że okrąg o średnicy AB przechodzi przez punkt C (bo ∡C = 90∘ ). To oznacza, że środek E przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC . W szczególności

EC = EA .

W takim razie trójkąt AEC jest równoramienny i

∡ECA = ∡EAC = α.

Ponadto

∡BCG = 90 ∘ − ∡B = ∡A = α.

Zatem

∘ ∡F CG = ∡F CB − ∡BCG = 45 − α ∡F CE = ∡F CA − ∡ECA = 45 ∘ − α .
Wersja PDF