/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 9 kwietnia 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba π sin 8- jest równa
A) ∘ --√--- 2−--2 2 B) √ ---√- --2−--2 2 C) ∘ ---√-- 2+--2- 2 D) √ --√-- ---2+--2 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji y = x − 2 i y = | log 2x| − 1 jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba ( ) √ -- 6 2− 1 jest równa
A) √ -- 49 − 35 2 B) √ -- 5 2 − 7 C) √ -- 99 − 70 2 D) √ -- 34 − 24 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Pochodna funkcji 4 2 f (x) = x − ax + 3x − 7 jest funkcją rosnącą jeżeli
A) a ≥ 0 B) a ≤ 0 C) a ∈ ⟨− 2,2⟩ D) a ∈ (− ∞ ,− 2⟩∪ ⟨2,+ ∞ )

Zadanie 5
(1 pkt)

Ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest dodatnią liczbą złożoną?
A) 59029 B) 59028 C) 89980 D) 89979

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz granicę ( ) 3n3+5n2+-6 2n3−-4n+1-− 3 nl→im+ ∞ 3n2+1 − 2n2−1 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Długości boków prostokąta są równe 8 oraz 15. Oblicz cosinus kąta rozwartego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Zadanie 8
(2 pkt)

Bok AB kwadratu ABCD o polu równym 4 jest zawarty w prostej o równaniu 4y − 3x+ 7 = 0 . Wiadomo ponadto, że wewnątrz tego kwadratu leży początek układu współrzędnych. Napisz równanie prostej zawierającej bok CD tego kwadratu.

Zadanie 9
(2 pkt)

Rozwiąż równanie |2 − |3− x|| = 2 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg oraz pola trójkątów ABC i ADC są równe. Wykaż, że

|AB |2 + |BC |2 + |CD |2 + |DA |2 = 2|AC |2.

Zadanie 11
(3 pkt)

Dane jest koło k1 o promieniu r . W tym kole narysowano koło k2 styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k1 . W kole k2 narysowano koło k 3 styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k 2 . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę obwodów wszystkich narysowanych kół.

PIC

Zadanie 12
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli m i n są takimi liczbami całkowitymi, że rozwiązania równania 2 x + mx + 1− n = 0 są niezerowymi liczbami całkowitymi, to liczba m 2 + n 2 nie jest liczbą pierwszą.

Zadanie 13
(3 pkt)

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M nierówność

M + log (4x2 + 12x + 9) < log (4x2 + 16x + 15)

ma przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale ( ) − 3,0 2 .

Zadanie 14
(4 pkt)

Rzucamy 5 razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej 4 orłów lub co najmniej 4 reszek, jeżeli wiadomo, że otrzymaliśmy co najmniej jedną reszkę.

Zadanie 15
(4 pkt)

Na bokach AB ,BC ,CD i DA czworokąta ABCD wybrano punkty K,L ,M i N takie, że

AK BL CM DN ---- = --- = -----= ---- = k,gdzie k ∈ (0,+ ∞ ). KB LC MD NA

Oblicz stosunek pola czworokąta KLMN do pola czworokąta ABCD .

Zadanie 16
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości a , a krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa jeżeli cosinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa jest równy − 1 5 .

Zadanie 17
(5 pkt)

Ze zbioru {1 ,2,3,4,...,99,100 } wybieramy cztery różne liczby i obliczamy ich sumę. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo tego, że suma wybranych liczb jest nieparzysta. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 18
(7 pkt)

Spośród wszystkich trapezów, w których iloczyn długości podstaw jest równy k , a pole jest równe S wybrano ten, który ma najdłuższą wysokość. Wykaż, że przekątne wybranego trapezu dzielą się na połowy.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania