/Szkoła średnia

Zadanie nr 9251212

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Prosta k równoległa do osi Ox przecina wykres funkcji ||3 || y = x w dwóch punktach A i B . Wyznacz współrzędne punktów A i B jeżeli wiadomo, że razem z punktem C = (7 ,− 3 ) tworzą trójkąt o polu 12.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku – wykres ||3|| y = x powstaje z wykresu 3 y = x przez odbicie części poniżej osi Ox do góry.

PIC

Funkcja | | y = | 3x| jest parzysta, więc pozioma prosta przecina jej wykres w punktach położonych symetrycznie względem osi Oy . Możemy więc oznaczyć współrzędne tych punktów przez

( ) 3- A = (−x ,f(−x )) = −x ,x ( ) B = (x,f(x)) = x , 3 . x

Sposób I

Podstawa trójkąta ABC ma więc długość AB = 2x , a wysokość h = -3+ 3 x . Podane pole trójkąta ABC prowadzi do równania

1- 2AB ⋅h = 12 1 ( 3 ) -⋅ 2x⋅ --+ 3 = 12 2 x 3 + 3x = 12 3x = 9 ⇐ ⇒ x = 3.

Zatem A = (− 3,1) i B = (3,1) .

Sposób II

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

1 PABC = --|(xB − xA)(yC − yA) − (yB − yA )(xC − xA )|. 2

W naszej sytuacji otrzymujemy równanie

| ( ) ( ) | 1 | 3 3 3 | --||(x + x) − 3 − -- − --− -- (7 + x )|| = 12 2 x x x 1- 2 |− 6x − 6 | = 1 2 |− 3x− 3| = 12 |3x + 3| = 12 3x + 3 = 12 ∨ 3x + 3 = − 1 2 3x = 9 ∨ 3x = − 1 5 x = 3 ∨ x = − 5.

Przy naszych oznaczeniach x > 0 , czyli x = 3 . Zatem A = (− 3,1 ) i B = (3,1) .  
Odpowiedź: (− 3,1) i (3,1)

Wersja PDF