/Szkoła średnia

Zadanie nr 9252549

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkty D i E są środkami boków CB i CA trójkąta ABC (zobacz rysunek). Wykaż, że odległość punktu B od prostej AD jest dwa razy większa od odległości punktu E od prostej AD .

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy rzuty punktów E i B na tę prostą.

PIC

Odcinek ED jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta ABC , więc ED = 12AB .

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty prostokątne ABL i LEK mają równe kąty ostre:

∡EDK = ∡BAD ,

więc są podobne. Ponadto znamy ich skalę podobieństwa AB EL-= 2 . W takim razie

BD = 2EK .

Sposób II

Zauważmy, że wysokość opuszczona na podstawę AB trójkąta ABD jest taka sama jak wysokość opuszczona na podstawę ED trójkąta DEA (bo w obu przypadkach jest to odległość między prostymi AB i ED ). Ponadto AB = 2ED , więc trójkąt ABD ma dwa razy większe pole niż trójkąt DEA . Stąd

P = 2P ABC DEA 1-AD ⋅BD = 2⋅ 1AD ⋅EK ⇒ BD = 2EK . 2 2
Wersja PDF