/Szkoła średnia

Zadanie nr 9256129

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A (2,1) i tworzącej z prostą 2x − y + 1 = 0 kąt o mierze π3- .

Rozwiązanie

zacznijmy od szkicowego rysunku.

PIC

Dana prosta tworzy z osią Ox kąt α , którego tangens jest równy tg α = 2 (współczynnik kierunkowy prostej). Szukamy zatem prostych, które tworzą z osią Ox kąty α+ π- 3 i α − π- 3 . Aby wyliczyć współczynniki kierunkowe tych prostych korzystamy ze wzorów

-tgx-+--tg-y- tg (x+ y) = 1 − tg xtg y tg (x− y) = -tgx-−--tg-y-. 1 + tg xtg y

W naszej sytuacji mamy

√ -- √ -- √ -- √ -- ( π-) -tgα-+-tg-π3-- 2-+---3-- (2+----3)(1+--2--3)- 5--3+--8- tg α + 3 = 1 − tgα tg π-= √ --= 1 − 12 = − 11 3 1− 2√ -3 √ -- √ -- √ -- ( π-) -tgα-−-tg-π3-- 2-−---3-- (2−----3)(2--3−--1)- 5--3−--8- tg α − 3 = 1 + tgα tg π-= √ --= 12 − 1 = 11 . 3 1+ 2 3

Znamy zatem współczynniki kierunkowe szukanych prostych y = ax+ b . Pozostało wyliczyć współczynnik b – robimy to podstawiając podany punkt.

√ -- √ -- 5 3 + 8 10 3 + 27 1 = − ---------⋅2 + b1 ⇒ b1 = ----------- √ --11 11√ -- 5--3-−-8- 27−--10--3- 1 = 11 ⋅2 + b2 ⇒ b2 = 11 .

 
Odpowiedź: 5√-3+8- 10√-3+27- y = − 11 x + 11 oraz √- √- y = 5-3−-8x+ 27−10-3- 11 11

Wersja PDF