Zadanie nr 9304850

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a ⁄= b oraz m ⁄= 0 równanie

1 1 1 ------+ ------= -- x − a x − b m

ma dwa różne rozwiązania.

Rozwiązanie

Przekształcamy dane równanie

x − b + x − a 1 ---------------= -- (x − a)(x − b) m (2x− a− b)m = (x − a)(x − b) 2 2xm − (a+ b)m = x − (a+ b)x+ ab x2 − (a+ b+ 2m )x + ab + am + bm Δ = (a + b + 2m )2 − 4(ab + am + bm ).

Wyrażenie (a + b + 2m )2 możemy obliczyć wymnażając dwa nawiasy, ale możemy też skorzystać ze wzoru

(x+ y+ z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz .

Mamy więc

Δ = a2 + b2 + 4m 2 + 2ab + 4am + 4bm − 4ab − 4am − 4bm = = a2 + b2 − 2ab + 4m 2 = (a − b)2 + 4m 2.

Ponieważ z założenia m ⁄= 0 , więc Δ > 0 , co oznacza, że równanie ma zawsze dwa pierwiastki. Nie jest to jednak całkiem koniec, bo musimy sprawdzić, czy jeden z tych pierwiastków to nie jest przypadkiem lub (liczby te nie należą do dziedziny równania). Sprawdzamy podstawiając x = a i x = b w otrzymanym równaniu kwadratowym.