/Szkoła średnia

Zadanie nr 9316669

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że jeżeli prostokąt ABCD nie jest kwadratem, to punkty przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych są wierzchołkami kwadratu.

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy dwusieczne prostokąta.

PIC

Zauważmy, że każdy z trójkątów AKD ,P QL ,BMC ,RNS ma dwa kąty równe 45 ∘ , więc są prostokątne i równoramienne. To oznacza, że każdy z kątów czworokąta KLMN jest prosty, jest to więc prostokąt. Pozostało wykazać, że tak naprawdę jest to kwadrat.

Sposób I

Zauważmy, że prosta p przechodząca przez środki boków AD i BC prostokąta jest osią symetrii całego narysowanego obrazka, tzn. przy symetrii względem tej prostej na siebie przechodzi zarówno prostokąt, jak i jego dwusieczne. Ponadto prosta ta zwiera przekątną KM prostokąta KLMN . To oznacza, że jest to także oś symetrii tego prostokąta. To koniec, bo prostokąt, w którym przekątna jest osią symetrii musi być kwadratem.

Sposób II

Pokażemy, że dwa sąsiednie boki prostokąta KLMN są równe, co będzie oznaczało, że musi to być kwadrat.

Zauważmy, że trójkąty DAQ i ADR są przystające (bo oba mają równe kąty i wspólny bok AD ). Zatem AQ = DR . To oznacza, że RC = QB . Analogicznie pokazujemy, że DS = AP . Mamy więc

SR = DC − DS − RC = AB − AP − QB = PQ .

To z kolei oznacza, że trójkąty PQL i SNR są przystające. Mamy zatem

KL = DQ − DK − LQ = P C − CM − PL = LM ,

co kończy dowód.

Sposób III

Tak jak poprzednio zauważamy, że RC = QB . Teraz patrzymy na równoległoboki AP CR i QBSD . Mają one równe kąty i równe długości boków, co oznacza, że są przystające. W takim razie mają równe wysokości, czyli

KL = LM .
Wersja PDF